Номер 49.24, страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§49. Определённый интеграл. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 49.24, страница 199.

49.24 a) $y = x^2 - 4x$, $y = -(x - 4)^2$;

б) $y = x^2 + 2x - 3$, $y = -x^2 + 2x + 5$.

а) Для нахождения точек пересечения графиков функций $y = x^2 - 4x$ и $y = -(x - 4)^2$ необходимо найти такие значения $x$ и $y$, которые удовлетворяют обоим уравнениям. Для этого приравняем правые части уравнений:

$x^2 - 4x = -(x - 4)^2$

Раскроем скобки в правой части уравнения, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - 4x = -(x^2 - 8x + 16)$

$x^2 - 4x = -x^2 + 8x - 16$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приведем подобные:

$x^2 - 4x + x^2 - 8x + 16 = 0$

$2x^2 - 12x + 16 = 0$

Для упрощения разделим все уравнение на 2:

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Получили приведенное квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета. Ищем два числа, сумма которых равна 6, а произведение равно 8. Это числа 2 и 4.

Таким образом, $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в любое из исходных уравнений. Используем первое уравнение $y = x^2 - 4x$.

Для $x_1 = 2$:

$y_1 = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$

Первая точка пересечения: $(2, -4)$.

Для $x_2 = 4$:

$y_2 = 4^2 - 4 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$

Вторая точка пересечения: $(4, 0)$.

Ответ: $(2, -4)$, $(4, 0)$.

б) Для нахождения точек пересечения графиков функций $y = x^2 + 2x - 3$ и $y = -x^2 + 2x + 5$ приравняем их правые части:

$x^2 + 2x - 3 = -x^2 + 2x + 5$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приведем подобные:

$x^2 + 2x - 3 + x^2 - 2x - 5 = 0$

$(x^2 + x^2) + (2x - 2x) + (-3 - 5) = 0$

$2x^2 - 8 = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение:

$2x^2 = 8$

$x^2 = 4$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в любое из исходных уравнений. Используем второе уравнение $y = -x^2 + 2x + 5$.

Для $x_1 = 2$:

$y_1 = -(2^2) + 2 \cdot 2 + 5 = -4 + 4 + 5 = 5$

Первая точка пересечения: $(2, 5)$.

Для $x_2 = -2$:

$y_2 = -(-2)^2 + 2 \cdot (-2) + 5 = -4 - 4 + 5 = -3$

Вторая точка пересечения: $(-2, -3)$.

Ответ: $(2, 5)$, $(-2, -3)$.