Номер 49.23, страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§49. Определённый интеграл. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 49.23, страница 199.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

49.23 a) $y = 1 - x^2$, $y = -x - 1$;

б) $y = x^2 - 3x + 2$, $y = x - 1$;

в) $y = x^2 - 1$, $y = 2x + 2$;

г) $y = -x^2 + 2x + 3$, $y = 3 - x$.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$, используется формула $S = \int_a^b (f(x) - g(x)) dx$, где $a$ и $b$ — абсциссы точек пересечения графиков, и на интервале $(a, b)$ выполняется неравенство $f(x) \ge g(x)$.

а)

Даны функции $y = 1 - x^2$ и $y = -x - 1$.

1. Найдем пределы интегрирования, решив уравнение $1 - x^2 = -x - 1$.

$x^2 - x - 2 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = 2$. Это и будут пределы интегрирования $a = -1$, $b = 2$.

2. Определим, какая из функций больше на интервале $(-1, 2)$. Возьмем пробную точку $x = 0$:

$y_1(0) = 1 - 0^2 = 1$

$y_2(0) = -0 - 1 = -1$

Так как $1 > -1$, то на интервале $(-1, 2)$ график функции $y = 1 - x^2$ расположен выше графика функции $y = -x - 1$.

3. Вычислим площадь фигуры как интеграл разности функций:

$S = \int_{-1}^{2} ((1 - x^2) - (-x - 1)) dx = \int_{-1}^{2} (1 - x^2 + x + 1) dx = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) dx$

$S = \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right) \bigg|_{-1}^{2} = \left( -\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2 \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2(-1) \right)$

$S = \left( -\frac{8}{3} + 2 + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right) = \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{5}{6} - 2 \right) = \frac{18-8}{3} - \frac{5-12}{6} = \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20+7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: 4,5

б)

Даны функции $y = x^2 - 3x + 2$ и $y = x - 1$.

1. Найдем пределы интегрирования: $x^2 - 3x + 2 = x - 1$.

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Пределы интегрирования $a = 1$, $b = 3$.

2. Определим, какая из функций больше на интервале $(1, 3)$. Возьмем $x = 2$:

$y_1(2) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$

$y_2(2) = 2 - 1 = 1$

Так как $1 > 0$, то на интервале $(1, 3)$ график $y = x - 1$ выше графика $y = x^2 - 3x + 2$.

3. Вычислим площадь:

$S = \int_{1}^{3} ((x - 1) - (x^2 - 3x + 2)) dx = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) dx$

$S = \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} - 3x \right) \bigg|_{1}^{3} = \left( -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right) \bigg|_{1}^{3}$

$S = \left( -\frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 \right)$

$S = (-9 + 18 - 9) - \left( -\frac{1}{3} + 2 - 3 \right) = 0 - \left( -\frac{1}{3} - 1 \right) = - \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$

в)

Даны функции $y = x^2 - 1$ и $y = 2x + 2$.

1. Найдем пределы интегрирования: $x^2 - 1 = 2x + 2$.

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Корни уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$. Пределы интегрирования $a = -1$, $b = 3$.

2. Определим, какая из функций больше на интервале $(-1, 3)$. Возьмем $x = 0$:

$y_1(0) = 0^2 - 1 = -1$

$y_2(0) = 2 \cdot 0 + 2 = 2$

Так как $2 > -1$, то на интервале $(-1, 3)$ график $y = 2x + 2$ выше графика $y = x^2 - 1$.

3. Вычислим площадь:

$S = \int_{-1}^{3} ((2x + 2) - (x^2 - 1)) dx = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) dx$

$S = \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{2x^2}{2} + 3x \right) \bigg|_{-1}^{3} = \left( -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right) \bigg|_{-1}^{3}$

$S = \left( -\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3 \cdot 3 \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3(-1) \right)$

$S = (-9 + 9 + 9) - \left( \frac{1}{3} + 1 - 3 \right) = 9 - \left( \frac{1}{3} - 2 \right) = 9 - \left( -\frac{5}{3} \right) = 9 + \frac{5}{3} = \frac{27+5}{3} = \frac{32}{3}$

Ответ: $\frac{32}{3}$

г)

Даны функции $y = -x^2 + 2x + 3$ и $y = 3 - x$.

1. Найдем пределы интегрирования: $-x^2 + 2x + 3 = 3 - x$.

$-x^2 + 3x = 0$

$-x(x - 3) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$. Пределы интегрирования $a = 0$, $b = 3$.

2. Определим, какая из функций больше на интервале $(0, 3)$. Возьмем $x = 1$:

$y_1(1) = -1^2 + 2 \cdot 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$

$y_2(1) = 3 - 1 = 2$

Так как $4 > 2$, то на интервале $(0, 3)$ график $y = -x^2 + 2x + 3$ выше графика $y = 3 - x$.

3. Вычислим площадь:

$S = \int_{0}^{3} ((-x^2 + 2x + 3) - (3 - x)) dx = \int_{0}^{3} (-x^2 + 3x) dx$

$S = \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right) \bigg|_{0}^{3} = \left( -\frac{3^3}{3} + \frac{3 \cdot 3^2}{2} \right) - 0$

$S = -9 + \frac{27}{2} = \frac{-18+27}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: 4,5