Номер 49.22, страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§49. Определённый интеграл. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 49.22, страница 199.

49.22 a) $y = e^x$, $y = \frac{1}{x}$, $x = 2$, $x = 3;$

б) $y = \frac{1}{x}$, $y = 1$, $x = 5;$

В) $y = \sqrt{x}$, $y = \frac{1}{x}$, $x = 4;$

Г) $y = -\frac{1}{x}$, $y = -1$, $x = e.$

а)

Фигура ограничена графиками функций $y = e^x$, $y = \frac{1}{x}$ и прямыми $x=2$, $x=3$. На отрезке $[2, 3]$ функция $y = e^x$ принимает большие значения, чем функция $y = \frac{1}{x}$ (например, при $x=2$, $e^2 \approx 7.39 > \frac{1}{2}=0.5$). Следовательно, $e^x \ge \frac{1}{x}$ на данном отрезке. Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_2^3 \left( e^x - \frac{1}{x} \right) dx$

Вычислим интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ e^x - \ln(x) \right]_2^3 = (e^3 - \ln(3)) - (e^2 - \ln(2)) = e^3 - e^2 - \ln(3) + \ln(2) = e^3 - e^2 + \ln\left(\frac{2}{3}\right)$

Ответ: $S = e^3 - e^2 + \ln\left(\frac{2}{3}\right)$.

б)

Фигура ограничена линиями $y = \frac{1}{x}$, $y = 1$ и $x = 5$. Найдем точку пересечения графиков $y = \frac{1}{x}$ и $y = 1$: $\frac{1}{x} = 1 \implies x = 1$. Таким образом, фигура ограничена слева прямой $x=1$. На отрезке $[1, 5]$ выполняется неравенство $1 \ge \frac{1}{x}$, так как для $x \ge 1$ знаменатель $x$ больше или равен 1. Площадь фигуры $S$ равна:

$S = \int_1^5 \left( 1 - \frac{1}{x} \right) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ x - \ln(x) \right]_1^5 = (5 - \ln(5)) - (1 - \ln(1)) = 5 - \ln(5) - 1 + 0 = 4 - \ln(5)$

Ответ: $S = 4 - \ln(5)$.

в)

Фигура ограничена линиями $y = \sqrt{x}$, $y = \frac{1}{x}$ и $x = 4$. Найдем точку пересечения графиков $y = \sqrt{x}$ и $y = \frac{1}{x}$: $\sqrt{x} = \frac{1}{x} \implies x^{3/2} = 1 \implies x=1$. На отрезке $[1, 4]$ выполняется неравенство $\sqrt{x} \ge \frac{1}{x}$. Например, при $x=4$, $\sqrt{4} = 2 > \frac{1}{4}=0.25$. Площадь фигуры $S$ равна:

$S = \int_1^4 \left( \sqrt{x} - \frac{1}{x} \right) dx = \int_1^4 \left( x^{1/2} - \frac{1}{x} \right) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} - \ln(x) \right]_1^4 = \left[ \frac{2}{3}x\sqrt{x} - \ln(x) \right]_1^4 = \left(\frac{2}{3} \cdot 4\sqrt{4} - \ln(4)\right) - \left(\frac{2}{3} \cdot 1\sqrt{1} - \ln(1)\right) = \left(\frac{16}{3} - \ln(4)\right) - \left(\frac{2}{3} - 0\right) = \frac{14}{3} - \ln(4)$

Ответ: $S = \frac{14}{3} - \ln(4)$.

г)

Фигура ограничена линиями $y = -\frac{1}{x}$, $y = -1$ и $x = e$. Найдем точку пересечения графиков $y = -\frac{1}{x}$ и $y = -1$: $-\frac{1}{x} = -1 \implies x=1$. На отрезке $[1, e]$ выполняется неравенство $-\frac{1}{x} \ge -1$. Например, при $x=e$, $-\frac{1}{e} \approx -0.37 > -1$. Таким образом, верхняя граница фигуры — $y = -\frac{1}{x}$, а нижняя — $y = -1$. Площадь фигуры $S$ равна:

$S = \int_1^e \left( -\frac{1}{x} - (-1) \right) dx = \int_1^e \left( 1 - \frac{1}{x} \right) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ x - \ln(x) \right]_1^e = (e - \ln(e)) - (1 - \ln(1)) = (e - 1) - (1 - 0) = e - 2$

Ответ: $S = e - 2$.