Номер 49.26, страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§49. Определённый интеграл. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 49.26, страница 199.

49.26 a) $y = 3 - x^2$, $y = 1 + |x|$;

б) $y = x^2$, $y = 2 - |x|$.

а)

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = 3 - x^2$ и $y = 1 + |x|$, необходимо выполнить следующие действия.

1. Найти точки пересечения.
Обе функции, $y = 3 - x^2$ и $y = 1 + |x|$, являются четными, так как $f(-x) = f(x)$. Это означает, что их графики симметричны относительно оси $Oy$. Поэтому мы можем найти точки пересечения для $x \ge 0$ и использовать симметрию.
При $x \ge 0$, уравнение $y = 1 + |x|$ принимает вид $y = 1 + x$.
Приравняем функции, чтобы найти абсциссы точек пересечения: $3 - x^2 = 1 + x$ $x^2 + x - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.
Поскольку мы рассматриваем случай $x \ge 0$, нас интересует только корень $x = 1$. В силу симметрии, вторая точка пересечения будет при $x = -1$. Таким образом, фигура ограничена по оси $x$ на интервале $[-1, 1]$.

2. Определить, какая из функций больше на интервале $[-1, 1]$.
Возьмем любую точку из этого интервала, например, $x = 0$. Для $y = 3 - x^2$, при $x=0$, $y = 3 - 0^2 = 3$. Для $y = 1 + |x|$, при $x=0$, $y = 1 + |0| = 1$. Поскольку $3 > 1$, график параболы $y = 3 - x^2$ лежит выше графика $y = 1 + |x|$ на всем интервале $[-1, 1]$.

3. Вычислить площадь.
Площадь $S$ фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций по интервалу, на котором они ограничивают фигуру: $S = \int_{-1}^{1} ((3 - x^2) - (1 + |x|)) dx = \int_{-1}^{1} (2 - x^2 - |x|) dx$.
Так как подынтегральная функция является четной, мы можем вычислить интеграл на отрезке $[0, 1]$ и умножить результат на 2. На этом отрезке $|x|=x$. $S = 2 \int_{0}^{1} (2 - x^2 - x) dx$
Вычисляем интеграл: $S = 2 \left[ 2x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = 2 \left( (2(1) - \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2}) - (0) \right)$ $S = 2 \left( 2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) = 2 \left( \frac{12 - 2 - 3}{6} \right) = 2 \left( \frac{7}{6} \right) = \frac{7}{3}$.

Ответ: $S = \frac{7}{3}$ кв. ед.

б)

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = x^2$ и $y = 2 - |x|$, выполним аналогичные действия.

1. Найти точки пересечения.
Обе функции, $y = x^2$ и $y = 2 - |x|$, являются четными, следовательно, их графики симметричны относительно оси $Oy$. Найдем точки пересечения для $x \ge 0$, где $|x| = x$.
Приравняем функции: $x^2 = 2 - x$ $x^2 + x - 2 = 0$
Корни этого уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Для $x \ge 0$ подходит корень $x = 1$. В силу симметрии, вторая точка пересечения будет при $x = -1$. Интервал интегрирования: $[-1, 1]$.

2. Определить, какая из функций больше на интервале $[-1, 1]$.
Возьмем пробную точку $x = 0$. Для $y = x^2$, при $x=0$, $y = 0^2 = 0$. Для $y = 2 - |x|$, при $x=0$, $y = 2 - |0| = 2$. Поскольку $2 > 0$, график $y = 2 - |x|$ лежит выше графика параболы $y = x^2$ на интервале $[-1, 1]$.

3. Вычислить площадь.
Площадь $S$ фигуры: $S = \int_{-1}^{1} ((2 - |x|) - x^2) dx = \int_{-1}^{1} (2 - x^2 - |x|) dx$.
Подынтегральная функция является четной, поэтому воспользуемся свойством симметрии. На отрезке $[0, 1]$ имеем $|x|=x$. $S = 2 \int_{0}^{1} (2 - x - x^2) dx$
Вычисляем интеграл: $S = 2 \left[ 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 2 \left( (2(1) - \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3}) - (0) \right)$ $S = 2 \left( 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = 2 \left( \frac{12 - 3 - 2}{6} \right) = 2 \left( \frac{7}{6} \right) = \frac{7}{3}$.

Ответ: $S = \frac{7}{3}$ кв. ед.