Номер 49.32, страница 200, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§49. Определённый интеграл. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 49.32, страница 200.

49.32 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) $y = \sin 2x, y = \frac{16x^2}{\pi^2};$

б) $y = x^2 - 1, y = \cos \frac{\pi x}{2};$

в) $y = \cos x, y = \left(\frac{2x}{\pi} - 1\right)^2;$

г) $y = x^2 - 2x, y = \sin \frac{\pi x}{2}.$

а) $y = \sin 2x, y = \frac{16x^2}{\pi^2}$

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, сначала найдем точки их пересечения. Для этого приравняем выражения для $y$:

$\sin 2x = \frac{16x^2}{\pi^2}$

Подбором находим очевидные решения. При $x=0$ обе части уравнения равны нулю: $\sin(0) = 0$ и $\frac{16 \cdot 0^2}{\pi^2} = 0$. Следовательно, $x=0$ - одна из точек пересечения.

Проверим точку $x = \frac{\pi}{4}$. Левая часть: $\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Правая часть: $\frac{16(\pi/4)^2}{\pi^2} = \frac{16\pi^2/16}{\pi^2} = 1$. Значения совпадают, значит $x = \frac{\pi}{4}$ также является точкой пересечения.

На интервале $(0, \frac{\pi}{4})$ определим, какая из функций принимает большие значения. Возьмем пробную точку, например, $x=\frac{\pi}{8}$:
$y_1 = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$
$y_2 = \frac{16(\pi/8)^2}{\pi^2} = \frac{16\pi^2/64}{\pi^2} = \frac{1}{4} = 0.25$
Поскольку $\frac{\sqrt{2}}{2} > \frac{1}{4}$, на интервале $(0, \frac{\pi}{4})$ график функции $y=\sin 2x$ лежит выше графика $y = \frac{16x^2}{\pi^2}$.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности функций на отрезке между точками пересечения:

$S = \int_{0}^{\pi/4} \left(\sin 2x - \frac{16x^2}{\pi^2}\right) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[-\frac{1}{2}\cos 2x - \frac{16}{\pi^2} \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{\pi/4} = \left[-\frac{1}{2}\cos 2x - \frac{16x^3}{3\pi^2}\right]_{0}^{\pi/4}$

$S = \left(-\frac{1}{2}\cos(2\cdot\frac{\pi}{4}) - \frac{16(\pi/4)^3}{3\pi^2}\right) - \left(-\frac{1}{2}\cos(0) - \frac{16 \cdot 0^3}{3\pi^2}\right)$

$S = \left(-\frac{1}{2}\cos(\frac{\pi}{2}) - \frac{16\pi^3/64}{3\pi^2}\right) - \left(-\frac{1}{2} \cdot 1 - 0\right)$

$S = \left(-0 - \frac{\pi^3/4}{3\pi^2}\right) - \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{12} + \frac{1}{2} = \frac{6-\pi}{12}$

Ответ: $\frac{6-\pi}{12}$

б) $y = x^2 - 1, y = \cos\frac{\pi x}{2}$

Найдем точки пересечения, решив уравнение $x^2 - 1 = \cos\frac{\pi x}{2}$.

При $x=1$: $1^2-1=0$ и $\cos(\frac{\pi \cdot 1}{2})=0$. Точка $x=1$ является точкой пересечения.

При $x=-1$: $(-1)^2-1=0$ и $\cos(\frac{\pi \cdot (-1)}{2})=0$. Точка $x=-1$ также является точкой пересечения.

Обе функции являются четными, поэтому фигура симметрична относительно оси $Oy$. На интервале $(-1, 1)$ проверим, какая функция больше. Возьмем $x=0$:
$y_1 = 0^2 - 1 = -1$
$y_2 = \cos(0) = 1$
Следовательно, на отрезке $[-1, 1]$ график $y = \cos\frac{\pi x}{2}$ лежит выше графика $y = x^2 - 1$.

Площадь фигуры равна:

$S = \int_{-1}^{1} \left(\cos\frac{\pi x}{2} - (x^2 - 1)\right) dx = \int_{-1}^{1} \left(\cos\frac{\pi x}{2} - x^2 + 1\right) dx$

В силу четности подынтегральной функции, можно вычислить интеграл на отрезке $[0, 1]$ и удвоить результат:

$S = 2 \int_{0}^{1} \left(\cos\frac{\pi x}{2} - x^2 + 1\right) dx = 2 \left[\frac{2}{\pi}\sin\frac{\pi x}{2} - \frac{x^3}{3} + x\right]_{0}^{1}$

$S = 2 \left( \left(\frac{2}{\pi}\sin\frac{\pi}{2} - \frac{1^3}{3} + 1\right) - \left(\frac{2}{\pi}\sin 0 - 0 + 0\right) \right)$

$S = 2 \left( \frac{2}{\pi} \cdot 1 - \frac{1}{3} + 1 - 0 \right) = 2 \left(\frac{2}{\pi} + \frac{2}{3}\right) = \frac{4}{\pi} + \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3} + \frac{4}{\pi}$

в) $y = \cos x, y = \left(\frac{2x}{\pi} - 1\right)^2$

Найдем точки пересечения, решив уравнение $\cos x = \left(\frac{2x}{\pi} - 1\right)^2$.

При $x=0$: $\cos 0 = 1$ и $\left(\frac{2 \cdot 0}{\pi} - 1\right)^2 = (-1)^2 = 1$. Точка $x=0$ является точкой пересечения.

При $x=\frac{\pi}{2}$: $\cos \frac{\pi}{2} = 0$ и $\left(\frac{2(\pi/2)}{\pi} - 1\right)^2 = (1 - 1)^2 = 0$. Точка $x=\frac{\pi}{2}$ является точкой пересечения.

На интервале $(0, \frac{\pi}{2})$ сравним значения функций. Возьмем $x=\frac{\pi}{4}$:
$y_1 = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$y_2 = \left(\frac{2(\pi/4)}{\pi} - 1\right)^2 = (\frac{1}{2}-1)^2 = \frac{1}{4}$
Поскольку $\frac{\sqrt{2}}{2} > \frac{1}{4}$, на отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ график $y = \cos x$ лежит выше.

Площадь фигуры равна:

$S = \int_{0}^{\pi/2} \left(\cos x - \left(\frac{2x}{\pi} - 1\right)^2\right) dx = \int_{0}^{\pi/2} \left(\cos x - \left(\frac{4x^2}{\pi^2} - \frac{4x}{\pi} + 1\right)\right) dx$

$S = \int_{0}^{\pi/2} \left(\cos x - \frac{4x^2}{\pi^2} + \frac{4x}{\pi} - 1\right) dx = \left[\sin x - \frac{4x^3}{3\pi^2} + \frac{2x^2}{\pi} - x\right]_{0}^{\pi/2}$

$S = \left(\sin\frac{\pi}{2} - \frac{4(\pi/2)^3}{3\pi^2} + \frac{2(\pi/2)^2}{\pi} - \frac{\pi}{2}\right) - (\sin 0 - 0 + 0 - 0)$

$S = \left(1 - \frac{4\pi^3/8}{3\pi^2} + \frac{2\pi^2/4}{\pi} - \frac{\pi}{2}\right) - 0 = 1 - \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = 1 - \frac{\pi}{6}$

Ответ: $1 - \frac{\pi}{6}$

г) $y = x^2 - 2x, y = \sin\frac{\pi x}{2}$

Найдем точки пересечения, решив уравнение $x^2 - 2x = \sin\frac{\pi x}{2}$.

При $x=0$: $0^2 - 2(0) = 0$ и $\sin(0) = 0$. Точка $x=0$ является точкой пересечения.

При $x=2$: $2^2 - 2(2) = 0$ и $\sin(\frac{\pi \cdot 2}{2}) = \sin(\pi) = 0$. Точка $x=2$ является точкой пересечения.

На интервале $(0, 2)$ сравним значения функций. Возьмем $x=1$:
$y_1 = 1^2 - 2(1) = -1$
$y_2 = \sin(\frac{\pi \cdot 1}{2}) = 1$
Следовательно, на отрезке $[0, 2]$ график $y = \sin\frac{\pi x}{2}$ лежит выше графика $y = x^2 - 2x$.

Площадь фигуры равна:

$S = \int_{0}^{2} \left(\sin\frac{\pi x}{2} - (x^2 - 2x)\right) dx = \int_{0}^{2} \left(\sin\frac{\pi x}{2} - x^2 + 2x\right) dx$

$S = \left[-\frac{2}{\pi}\cos\frac{\pi x}{2} - \frac{x^3}{3} + x^2\right]_{0}^{2}$

$S = \left(-\frac{2}{\pi}\cos(\frac{2\pi}{2}) - \frac{2^3}{3} + 2^2\right) - \left(-\frac{2}{\pi}\cos(0) - 0 + 0\right)$

$S = \left(-\frac{2}{\pi}\cos(\pi) - \frac{8}{3} + 4\right) - \left(-\frac{2}{\pi}\cdot 1\right)$

$S = \left(-\frac{2}{\pi}(-1) + \frac{4}{3}\right) - \left(-\frac{2}{\pi}\right) = \frac{2}{\pi} + \frac{4}{3} + \frac{2}{\pi} = \frac{4}{\pi} + \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3} + \frac{4}{\pi}$