Номер 49.33, страница 200, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§49. Определённый интеграл. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 49.33, страница 200.

49.33 a) Найтите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^3$, касательной к нему в точке $x = 1$ и осью $y$.

б) Найтите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^3$ и касательными к нему в точках $x = 0$ и $x = 1$.

а)

1. Сначала найдем уравнение касательной к графику функции $y = x^3$ в точке $x_0 = 1$.

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Для функции $f(x) = x^3$ и точки $x_0 = 1$ имеем:

Значение функции в точке касания: $f(1) = 1^3 = 1$.

Производная функции: $f'(x) = (x^3)' = 3x^2$.

Значение производной в точке касания (это угловой коэффициент касательной): $f'(1) = 3 \cdot 1^2 = 3$.

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = 1 + 3(x - 1) = 1 + 3x - 3 = 3x - 2$.

Таким образом, уравнение касательной: $y_{кас} = 3x - 2$.

2. Фигура, площадь которой нужно найти, ограничена тремя линиями: графиком функции $y = x^3$, касательной $y = 3x - 2$ и осью $y$ (что соответствует прямой $x=0$).

Площадь фигуры можно вычислить с помощью определенного интеграла. Пределы интегрирования по оси $x$ определяются осью $y$ (то есть $x=0$) и точкой касания ($x=1$). Таким образом, интегрирование будет производиться от $0$ до $1$.

На интервале $[0, 1]$ график функции $y = x^3$ расположен выше графика касательной $y = 3x - 2$. Это следует из того, что функция $y=x^3$ является выпуклой вниз при $x>0$, и поэтому касательная к ней лежит ниже графика.

3. Площадь $S$ равна интегралу от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{0}^{1} (x^3 - (3x - 2)) dx = \int_{0}^{1} (x^3 - 3x + 2) dx$.

Вычислим интеграл:

$S = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1^4}{4} - \frac{3 \cdot 1^2}{2} + 2 \cdot 1 \right) - \left( \frac{0^4}{4} - \frac{3 \cdot 0^2}{2} + 2 \cdot 0 \right)$

$S = \left( \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2 \right) - 0 = \frac{1}{4} - \frac{6}{4} + \frac{8}{4} = \frac{1 - 6 + 8}{4} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

б)

1. Найдем уравнения касательных к графику функции $y = x^3$ в точках $x=0$ и $x=1$.

Уравнение касательной в точке $x=1$ было найдено в предыдущем пункте: $y = 3x - 2$.

Теперь найдем уравнение касательной в точке $x_0 = 0$.

Используем ту же функцию $f(x) = x^3$ и ее производную $f'(x) = 3x^2$.

$f(0) = 0^3 = 0$.

$f'(0) = 3 \cdot 0^2 = 0$.

Уравнение касательной в точке $x=0$ имеет вид: $y = 0 + 0(x - 0)$, что упрощается до $y=0$. Это ось абсцисс.

2. Фигура ограничена графиком функции $y = x^3$ и двумя касательными к нему: $y = 0$ и $y = 3x - 2$.

Чтобы определить, как вычислять площадь, найдем точку пересечения двух касательных:

$3x - 2 = 0 \Rightarrow 3x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$.

Это означает, что нижняя граница искомой фигуры состоит из двух частей. На отрезке $[0, \frac{2}{3}]$ фигура снизу ограничена прямой $y=0$. На отрезке $[\frac{2}{3}, 1]$ фигура снизу ограничена прямой $y=3x-2$. Верхней границей на всем отрезке $[0, 1]$ является кривая $y=x^3$.

3. Площадь $S$ нужно вычислять как сумму двух интегралов:

$S = \int_{0}^{2/3} (x^3 - 0) dx + \int_{2/3}^{1} (x^3 - (3x - 2)) dx$.

Вычислим первый интеграл:

$S_1 = \int_{0}^{2/3} x^3 dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2/3} = \frac{(2/3)^4}{4} - 0 = \frac{16/81}{4} = \frac{4}{81}$.

Вычислим второй интеграл:

$S_2 = \int_{2/3}^{1} (x^3 - 3x + 2) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_{2/3}^{1}$

$S_2 = \left(\frac{1^4}{4} - \frac{3 \cdot 1^2}{2} + 2 \cdot 1\right) - \left(\frac{(2/3)^4}{4} - \frac{3 \cdot (2/3)^2}{2} + 2 \cdot \frac{2}{3}\right)$

$S_2 = \left(\frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2\right) - \left(\frac{16/81}{4} - \frac{3 \cdot 4/9}{2} + \frac{4}{3}\right)$

$S_2 = \left(\frac{3}{4}\right) - \left(\frac{4}{81} - \frac{2}{3} + \frac{4}{3}\right) = \frac{3}{4} - \left(\frac{4}{81} + \frac{2}{3}\right)$

$S_2 = \frac{3}{4} - \left(\frac{4}{81} + \frac{54}{81}\right) = \frac{3}{4} - \frac{58}{81} = \frac{3 \cdot 81 - 58 \cdot 4}{324} = \frac{243 - 232}{324} = \frac{11}{324}$.

Теперь сложим площади двух участков:

$S = S_1 + S_2 = \frac{4}{81} + \frac{11}{324} = \frac{4 \cdot 4}{324} + \frac{11}{324} = \frac{16 + 11}{324} = \frac{27}{324}$.

Сократим полученную дробь: $\frac{27}{324} = \frac{1}{12}$.

Ответ: $\frac{1}{12}$.