Номер 49.34, страница 200, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§49. Определённый интеграл. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 49.34, страница 200.

49.34 a) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ и касательной к нему в точке $x = 3$.

б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^3 - 3x$ и касательной к нему в точке $x = -1$.

а)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции и касательной к нему, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Составить уравнение касательной.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

В нашем случае $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ и $x_0 = 3$.

Найдем значение функции в точке касания:

$f(3) = 3^3 - 6(3^2) + 9(3) + 1 = 27 - 54 + 27 + 1 = 1$.

Теперь найдем производную функции:

$f'(x) = (x^3 - 6x^2 + 9x + 1)' = 3x^2 - 12x + 9$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 3$ (это угловой коэффициент касательной):

$f'(3) = 3(3^2) - 12(3) + 9 = 27 - 36 + 9 = 0$.

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = 1 + 0 \cdot (x - 3)$, откуда получаем уравнение касательной $y = 1$.

2. Найти пределы интегрирования.

Пределами интегрирования являются абсциссы точек пересечения графика функции и касательной. Для их нахождения решим уравнение:

$x^3 - 6x^2 + 9x + 1 = 1$

$x^3 - 6x^2 + 9x = 0$

$x(x^2 - 6x + 9) = 0$

$x(x-3)^2 = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Это и есть наши пределы интегрирования.

3. Вычислить площадь фигуры.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности функции, график которой лежит выше, и функции, график которой лежит ниже. Чтобы определить их взаимное расположение на интервале $(0, 3)$, возьмем любую точку из этого интервала, например $x=1$.

Значение функции: $f(1) = 1^3 - 6(1^2) + 9(1) + 1 = 5$.

Значение на касательной: $y = 1$.

Поскольку $5 > 1$, график функции $y=x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ на интервале $(0, 3)$ находится выше касательной $y=1$.

Вычисляем площадь $S$:

$S = \int_{0}^{3} ((x^3 - 6x^2 + 9x + 1) - 1) dx = \int_{0}^{3} (x^3 - 6x^2 + 9x) dx$

$S = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{6x^3}{3} + \frac{9x^2}{2} \right]_{0}^{3} = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^3 + \frac{9}{2}x^2 \right]_{0}^{3}$

$S = \left(\frac{3^4}{4} - 2 \cdot 3^3 + \frac{9 \cdot 3^2}{2}\right) - (0) = \frac{81}{4} - 54 + \frac{81}{2} = \frac{81 - 216 + 162}{4} = \frac{27}{4}$.

Ответ: $\frac{27}{4}$.

б)

Действуем по аналогии с пунктом а).

1. Составить уравнение касательной.

Функция $y = g(x) = x^3 - 3x$, точка касания $x_0 = -1$.

Уравнение касательной: $y = g(x_0) + g'(x_0)(x - x_0)$.

Значение функции: $g(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$.

Производная: $g'(x) = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3$.

Значение производной: $g'(-1) = 3(-1)^2 - 3 = 3 - 3 = 0$.

Уравнение касательной: $y = 2 + 0 \cdot (x - (-1))$, то есть $y = 2$.

2. Найти пределы интегрирования.

Приравняем функцию и касательную:

$x^3 - 3x = 2$

$x^3 - 3x - 2 = 0$

Так как $x_0 = -1$ - точка касания, то $(x+1)$ является корнем кратности не менее 2. Разложим левую часть на множители:

$(x+1)^2(x-2) = (x^2+2x+1)(x-2) = x^3+2x^2+x-2x^2-4x-2 = x^3-3x-2$.

Следовательно, уравнение имеет вид $(x+1)^2(x-2) = 0$.

Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Это пределы интегрирования.

3. Вычислить площадь фигуры.

Определим, какая функция больше на интервале $(-1, 2)$. Возьмем точку $x=0$.

Значение функции: $g(0) = 0^3 - 3(0) = 0$.

Значение на касательной: $y = 2$.

Поскольку $2 > 0$, касательная $y=2$ находится выше графика функции $y=x^3-3x$.

Вычисляем площадь $S$:

$S = \int_{-1}^{2} (2 - (x^3 - 3x)) dx = \int_{-1}^{2} (-x^3 + 3x + 2) dx$

$S = \left[ -\frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^{2}$

$S = \left(-\frac{2^4}{4} + \frac{3 \cdot 2^2}{2} + 2 \cdot 2\right) - \left(-\frac{(-1)^4}{4} + \frac{3 \cdot (-1)^2}{2} + 2(-1)\right)$

$S = \left(-4 + 6 + 4\right) - \left(-\frac{1}{4} + \frac{3}{2} - 2\right) = 6 - \left(-\frac{1}{4} + \frac{6}{4} - \frac{8}{4}\right)$

$S = 6 - \left(-\frac{3}{4}\right) = 6 + \frac{3}{4} = \frac{27}{4}$.

Ответ: $\frac{27}{4}$.