Номер 50.7, страница 204, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§50. Статистическая обработка данных. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 50.7, страница 204.

50.7 По приведённым данным из сводной таблицы распределения результатов некоторого измерения:

	Варианта				Сумма
	№ 1	№ 2	№ 3	№ 4
Кратность		$x$	$y$	$x + y$	$50$
Частота
Частота, %		$23x - 105$	$y^2 - y - 70$

а) найдите x;

б) найдите y;

в) восстановите всю таблицу;

г) найдите моду этого распределения.

Ниже, в задачах 50.8–50.11, рассматриваются результаты, которые получили выпускники одной из школ на сочинении. Выставлялись две отметки: первая — по литературе, вторая — по русскому языку. Отметки эти таковы:

5/4 4/5 3/1 4/3 2/3 3/3 4/3 5/3 3/3 1/2

4/4 4/2 2/1 3/5 3/4 4/3 5/5 4/4 5/4 2/2

2/3 4/3 5/4 2/3 3/3

а) найдите x;

Относительная частота в процентах для любого варианта вычисляется по формуле: $ \text{Частота, \%} = (\frac{\text{Кратность}}{\text{Общая сумма}}) \times 100\% $. В данной задаче общая сумма (объем выборки) равна 50.

Для Варианты №2 кратность равна $x$. Следовательно, её частота в процентах составляет $ \frac{x}{50} \times 100 = 2x $. Из таблицы нам дано, что это же значение равно $23x - 105$. Составим и решим уравнение:

$$ 2x = 23x - 105 $$

$$ 23x - 2x = 105 $$

$$ 21x = 105 $$

$$ x = \frac{105}{21} = 5 $$

Ответ: $x = 5$.

б) найдите y;

Аналогично, для Варианты №3 кратность равна $y$. Её частота в процентах составляет $ \frac{y}{50} \times 100 = 2y $. Из таблицы известно, что это значение равно $y^2 - y - 70$. Приравняем выражения и решим полученное уравнение:

$$ 2y = y^2 - y - 70 $$

$$ y^2 - 3y - 70 = 0 $$

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 9 + 280 = 289 $$

$$ \sqrt{D} = 17 $$

Найдем корни уравнения:

$$ y_1 = \frac{-(-3) + 17}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 17}{2} = \frac{20}{2} = 10 $$

$$ y_2 = \frac{-(-3) - 17}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 17}{2} = \frac{-14}{2} = -7 $$

Так как кратность ($y$) не может быть отрицательной величиной, мы выбираем положительный корень.

Ответ: $y = 10$.

в) восстановите всю таблицу;

Используя найденные значения $x=5$ и $y=10$, мы можем рассчитать все недостающие значения в таблице.
1. Кратность:
Кратность для Варианты №2: $k_2 = x = 5$.
Кратность для Варианты №3: $k_3 = y = 10$.
Кратность для Варианты №4: $k_4 = x + y = 5 + 10 = 15$.
Сумма всех кратностей равна 50, поэтому кратность для Варианты №1: $k_1 = 50 - (k_2+k_3+k_4) = 50 - (5+10+15) = 50 - 30 = 20$.
2. Частота (относительная частота):
Рассчитывается как $\frac{\text{Кратность}}{\text{Общая сумма}}$.
Для Варианты №1: $20/50 = 0.4$.
Для Варианты №2: $5/50 = 0.1$.
Для Варианты №3: $10/50 = 0.2$.
Для Варианты №4: $15/50 = 0.3$.
3. Частота, %:
Рассчитывается как $\text{Частота} \times 100\%$.
Для Варианты №1: $0.4 \times 100 = 40\%$.
Для Варианты №2: $0.1 \times 100 = 10\%$.
Для Варианты №3: $0.2 \times 100 = 20\%$.
Для Варианты №4: $0.3 \times 100 = 30\%$.

Итоговая восстановленная таблица:

	Варианта № 1	Варианта № 2	Варианта № 3	Варианта № 4	Сумма
Кратность	20	5	10	15	50
Частота	0.4	0.1	0.2	0.3	1.0
Частота, %	40	10	20	30	100

Ответ: Восстановленная таблица представлена выше.

г) найдите моду этого распределения.

Мода в статистическом распределении — это варианта, которая имеет наибольшую кратность. Сравним кратности для всех вариант:

Кратность Варианты №1: 20
Кратность Варианты №2: 5
Кратность Варианты №3: 10
Кратность Варианты №4: 15

Наибольшая кратность равна 20, и она соответствует Варианте №1. Следовательно, модой этого распределения является Варианта №1.

Ответ: Модой распределения является Варианта №1.