Номер 50.8, страница 204, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. §50. Статистическая обработка данных - номер 50.8, страница 204.

Условие.

50.8 Для отметок по литературе:

а) выпишите сгруппированный ряд данных;

б) составьте таблицу распределения кратностей;

в) постройте многоугольник распределения процентных частот;

г) найдите среднее.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Поскольку в условии задачи не приведен конкретный ряд отметок, для решения задачи воспользуемся следующим гипотетическим набором из 20 отметок по литературе:

5, 4, 4, 3, 5, 4, 5, 3, 2, 4, 5, 4, 4, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4.

а) выпишите сгруппированный ряд данных;

Сгруппированный (или упорядоченный) ряд данных — это ряд, в котором все его элементы расположены в порядке неубывания (возрастания). Для нашего набора отметок упорядочим их:

2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5.

Ответ: 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5.

б) составьте таблицу распределения кратностей;

Таблица распределения кратностей (или частот) показывает, сколько раз встречается каждое значение в наборе данных. Кратность — это число повторений определенного значения.

Подсчитаем кратности для каждой уникальной отметки в нашем ряду:

• Отметка «2» встречается 1 раз.
• Отметка «3» встречается 4 раза.
• Отметка «4» встречается 9 раз.
• Отметка «5» встречается 6 раз.

Общее число наблюдений (отметок): $1 + 4 + 9 + 6 = 20$.

Составим таблицу распределения:

Отметка ($x_i$)	Кратность ($n_i$)
2	1
3	4
4	9
5	6
Итого	20

Ответ: Таблица распределения кратностей представлена выше.

в) постройте многоугольник распределения процентных частот;

Для построения многоугольника необходимо сначала рассчитать процентные частоты для каждой отметки. Процентная частота вычисляется по формуле:

Процентная частота = $(\frac{Кратность}{Общее\ число\ данных}) \cdot 100\%$

Выполним расчеты для нашего набора данных:

• Для отметки «2»: $(\frac{1}{20}) \cdot 100\% = 5\%$
• Для отметки «3»: $(\frac{4}{20}) \cdot 100\% = 20\%$
• Для отметки «4»: $(\frac{9}{20}) \cdot 100\% = 45\%$
• Для отметки «5»: $(\frac{6}{20}) \cdot 100\% = 30\%$

Проверка: сумма процентных частот $5\% + 20\% + 45\% + 30\% = 100\%$.

Многоугольник распределения строится на координатной плоскости. По оси абсцисс (горизонтальной) откладываются значения данных (отметки), а по оси ординат (вертикальной) — соответствующие им процентные частоты. На плоскости отмечаются точки с координатами (отметка; процентная частота), которые затем последовательно соединяются отрезками.

Точки для построения: (2; 5), (3; 20), (4; 45), (5; 30). Для того чтобы многоугольник был замкнут, его крайние точки соединяют с осью абсцисс. Для этого добавляют точки, у которых ордината равна нулю, а абсциссы на единицу меньше минимального и на единицу больше максимального значения данных, то есть точки (1; 0) и (6; 0).

Ниже представлен график построенного многоугольника распределения процентных частот.

Ответ: Многоугольник распределения процентных частот построен и представлен на графике выше.

г) найдите среднее.

Среднее арифметическое для сгруппированных данных вычисляется по формуле среднего взвешенного:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} (x_i \cdot n_i)}{N}$

где $x_i$ — это значение отметки, $n_i$ — соответствующая кратность (частота), $k$ — количество уникальных отметок, а $N$ — общее число отметок.

Вычислим сумму произведений значений отметок на их кратности, используя данные из таблицы в пункте б):

$\sum (x_i \cdot n_i) = (2 \cdot 1) + (3 \cdot 4) + (4 \cdot 9) + (5 \cdot 6) = 2 + 12 + 36 + 30 = 80$

Общее число отметок $N = 20$.

Теперь найдем среднее арифметическое:

$\bar{x} = \frac{80}{20} = 4$

Таким образом, средняя отметка по литературе в данном ряду данных равна 4.

Ответ: 4.