Номер 51.4, страница 206, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§51. Простейшие вероятностные задачи. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 51.4, страница 206.

51.4 Составили множество всех чисел вида $x = 2^a 5^b$, где $a, b \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ (совпадения допускаются). Из этого множества случайным образом выбрали одно число. Какова вероятность того, что оно будет:

а) больше 1;

б) меньше 20;

в) нечётным;

г) не оканчиваться нулём?

Сначала определим общее количество возможных чисел в множестве. Числа имеют вид $x = 2^a 5^b$, где показатели степеней $a$ и $b$ выбираются из множества $\{0, 1, 2, 3, 4\}$. Поскольку для показателя $a$ есть 5 возможных значений и для показателя $b$ также 5 возможных значений, общее количество различных пар $(a, b)$ по правилу произведения равно $5 \times 5 = 25$. Согласно основной теореме арифметики о единственности разложения на простые множители, каждая пара $(a, b)$ создает уникальное число $x$. Таким образом, в множестве 25 различных чисел. Это общее число равновероятных исходов $N=25$.

а) больше 1;

Число $x = 2^a 5^b$ равно 1 только в одном случае: когда $a=0$ и $b=0$, так как $2^0 5^0 = 1 \times 1 = 1$. Во всех остальных случаях, когда хотя бы один из показателей $a$ или $b$ отличен от нуля, число $x$ будет больше 1. Количество таких случаев (благоприятных исходов) равно общему числу исходов минус один случай, когда число равно 1.$m = N - 1 = 25 - 1 = 24$.Вероятность того, что случайно выбранное число будет больше 1, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:$P = \frac{m}{N} = \frac{24}{25}$.
Ответ: $\frac{24}{25}$

б) меньше 20;

Нам нужно найти количество чисел $x = 2^a 5^b$, которые меньше 20. Переберем возможные значения $b$ и для каждого найдем подходящие значения $a$ из множества $\{0, 1, 2, 3, 4\}$.
- Если $b=0$, то $x = 2^a$. Проверяем значения $a$: $2^0=1<20$, $2^1=2<20$, $2^2=4<20$, $2^3=8<20$, $2^4=16<20$. Все 5 значений для $a$ подходят. (5 чисел)
- Если $b=1$, то $x = 5 \cdot 2^a$. Проверяем значения $a$: $5 \cdot 2^0 = 5<20$, $5 \cdot 2^1 = 10<20$. При $a=2$ получаем $x=20$, что не меньше 20. Значит, подходят 2 значения для $a$. (2 числа)
- Если $b=2$, то $x = 25 \cdot 2^a$. Наименьшее такое число при $a=0$ равно 25, что уже больше 20. Здесь нет подходящих исходов.
- При $b=3$ и $b=4$ числа будут еще больше, так что они тоже не подходят.
Общее количество благоприятных исходов $m = 5 + 2 = 7$.Вероятность того, что случайно выбранное число будет меньше 20, равна:$P = \frac{m}{N} = \frac{7}{25}$.
Ответ: $\frac{7}{25}$

в) нечётным;

Число является нечётным, если оно не делится на 2. В разложении числа $x = 2^a 5^b$ на простые множители двойка присутствует в степени $a$. Чтобы число было нечётным, в его разложении не должно быть множителя 2, что соответствует условию $a=0$. При этом показатель $b$ может принимать любое из 5-ти возможных значений: $\{0, 1, 2, 3, 4\}$.Следовательно, количество благоприятных исходов $m=5$. Это числа $5^0=1$, $5^1=5$, $5^2=25$, $5^3=125$, $5^4=625$.Вероятность того, что случайно выбранное число будет нечётным, равна:$P = \frac{m}{N} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$

г) не оканчиваться нулём?

Число оканчивается нулём, если оно делится на 10. Так как $10 = 2 \times 5$, число $x = 2^a 5^b$ оканчивается нулём, если в его разложении есть и множитель 2, и множитель 5. Это означает, что оба показателя $a$ и $b$ должны быть больше нуля, то есть $a \ge 1$ и $b \ge 1$.Нас интересует событие, когда число не оканчивается нулём. Это происходит, когда оно не делится на 10, то есть когда хотя бы один из показателей $a$ или $b$ равен нулю ($a=0$ или $b=0$).Посчитаем количество таких исходов, используя правило сложения для несовместных событий:
- Случаи, когда $a=0$. Показатель $b$ может быть любым (5 вариантов).
- Случаи, когда $b=0$. Показатель $a$ может быть любым (5 вариантов).
Случай, когда $a=0$ и $b=0$ (число 1), был посчитан в обеих группах, поэтому, чтобы избежать двойного счета, используем формулу включений-исключений.Количество благоприятных исходов $m = (\text{число случаев с } a=0) + (\text{число случаев с } b=0) - (\text{число случаев с } a=0 \text{ и } b=0) = 5 + 5 - 1 = 9$.Вероятность того, что случайно выбранное число не будет оканчиваться нулём, равна:$P = \frac{m}{N} = \frac{9}{25}$.
Ответ: $\frac{9}{25}$