Номер 51.6, страница 206, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§51. Простейшие вероятностные задачи. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 51.6, страница 206.

51.6 Назовите событие, для которого противоположным является следующее событие:

а) на контрольной работе больше половины учащихся класса получили пятёрки;

б) все семь пулек в тире у меня попали мимо цели;

в) в нашем классе — все и умные, и красивые;

г) в кошельке у меня есть или три рубля одной монетой, или три доллара одной купюрой.

Для решения этой задачи нужно для каждого утверждения (события) сформулировать противоположное ему утверждение (противоположное событие). Противоположное событие, обозначаемое как $\bar{A}$ для события $A$, происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие $A$.

а) Исходное событие $A$: «на контрольной работе больше половины учащихся класса получили пятёрки».
Пусть $N$ — общее число учащихся в классе, а $k$ — число учащихся, получивших пятёрки. Тогда событие $A$ можно записать в виде неравенства $k > \frac{N}{2}$.
Противоположное событие $\bar{A}$ означает, что утверждение $A$ ложно. То есть, неверно, что число получивших пятёрки больше половины. Это значит, что число получивших пятёрки не больше половины, то есть меньше или равно половине: $k \le \frac{N}{2}$.
Словесно это формулируется как: «на контрольной работе не больше половины (то есть половина или меньше половины) учащихся класса получили пятёрки».
Ответ: на контрольной работе не больше половины учащихся класса получили пятёрки.

б) Исходное событие $B$: «все семь пулек в тире у меня попали мимо цели».
Это означает, что количество попаданий равно нулю.
Противоположное событие $\bar{B}$ означает, что неверно, что все семь пулек попали мимо цели. Это эквивалентно тому, что хотя бы одна пулька попала в цель. Количество попаданий может быть 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7.
Следовательно, противоположное событие — это «хотя бы одна из семи пулек попала в цель».
Ответ: хотя бы одна из семи пулек в тире у меня попала в цель.

в) Исходное событие $C$: «в нашем классе — все и умные, и красивые».
Это означает, что каждый ученик в классе обладает обоими качествами: он и умный, и красивый.
Противоположное событие $\bar{C}$ означает, что неверно, что все ученики обладают обоими качествами. Это значит, что в классе есть хотя бы один ученик, который не обладает обоими качествами одновременно. То есть, он может быть не умным, или не красивым, или ни тем, ни другим.
Формально, если $U$ — свойство «быть умным», а $K$ — свойство «быть красивым», то событие $C$ — это «для всех учеников $x$ выполняется $(U(x) \text{ и } K(x))$». Противоположное событие $\bar{C}$ — это «существует хотя бы один ученик $x$, для которого не выполняется $(U(x) \text{ и } K(x))$». По закону де Моргана, это эквивалентно «существует хотя бы один ученик $x$, для которого выполняется $(\text{не } U(x) \text{ или не } K(x))$».
Следовательно, противоположное событие: «в нашем классе есть хотя бы один ученик, который или не умный, или не красивый».
Ответ: в нашем классе есть хотя бы один ученик, который не является одновременно и умным, и красивым (альтернативная формулировка: который или не умный, или не красивый).

г) Исходное событие $D$: «в кошельке у меня есть или три рубля одной монетой, или три доллара одной купюрой».
Это событие является объединением (логическим «ИЛИ») двух событий:
$D_1$: «в кошельке есть три рубля одной монетой».
$D_2$: «в кошельке есть три доллара одной купюрой».
Событие $D$ можно записать как $D_1 \cup D_2$ (или $D_1 \lor D_2$). Оно происходит, если выполнено хотя бы одно из событий $D_1$ или $D_2$.
Противоположное событие $\bar{D}$ происходит, когда не происходит ни $D_1$, ни $D_2$. То есть, в кошельке нет трёх рублей одной монетой, и при этом в нём нет трёх долларов одной купюрой.
Формально, по закону де Моргана, противоположное событие для $D_1 \lor D_2$ — это $\neg D_1 \land \neg D_2$.
Следовательно, противоположное событие: «в кошельке у меня нет ни трёх рублей одной монетой, ни трёх долларов одной купюрой».
Ответ: в кошельке у меня нет ни трёх рублей одной монетой, ни трёх долларов одной купюрой.