Номер 51.7, страница 206, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§51. Простейшие вероятностные задачи. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 51.7, страница 206.

51.7 Ученик случайным образом выбрал произвольное трёхзначное натуральное число, начинающееся с единицы. Найдите вероятность того, что:

а) это число нечётное;

б) среди цифр этого числа есть 3;

в) это число не является кубом целого числа;

г) сумма его цифр больше 3.

Для решения задачи сначала определим общее число возможных исходов. Мы выбираем трёхзначное натуральное число, начинающееся с единицы. Такие числа имеют вид $1xy$, где $x$ и $y$ — это цифры от 0 до 9.
Первая цифра фиксирована (1).
Вторая цифра $x$ может быть любой из 10 цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
Третья цифра $y$ также может быть любой из 10 цифр.
Следовательно, общее количество таких чисел (размер пространства элементарных исходов) равно $N = 1 \cdot 10 \cdot 10 = 100$. Эти числа находятся в диапазоне от 100 до 199.

а) это число нечётное;

Число является нечётным, если его последняя цифра нечётная. В нашем случае это цифра $y$.
Нечётные цифры — это 1, 3, 5, 7, 9. Всего 5 вариантов.
Первая цифра — 1 (1 вариант).
Вторая цифра $x$ может быть любой из 10 цифр.
Третья цифра $y$ должна быть одной из 5 нечётных цифр.
Количество благоприятных исходов (нечётных чисел) $m_a$ равно: $m_a = 1 \cdot 10 \cdot 5 = 50$.
Вероятность $P(A)$ того, что выбранное число нечётное, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P(A) = \frac{m_a}{N} = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

б) среди цифр этого числа есть 3;

Пусть событие B заключается в том, что среди цифр числа есть цифра 3. Проще найти вероятность противоположного события B' — что среди цифр числа нет цифры 3.
Число имеет вид $1xy$. Первая цифра 1, она не равна 3.
Для события B' вторая цифра $x$ не должна быть 3. У нас есть 9 вариантов для $x$ (0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
Третья цифра $y$ также не должна быть 3. У нас есть 9 вариантов для $y$.
Количество чисел, в которых нет цифры 3, равно: $m_{B'} = 1 \cdot 9 \cdot 9 = 81$.
Вероятность события B' равна: $P(B') = \frac{m_{B'}}{N} = \frac{81}{100}$.
Вероятность искомого события B равна $P(B) = 1 - P(B')$. $P(B) = 1 - \frac{81}{100} = \frac{19}{100}$.
Ответ: $\frac{19}{100}$

в) это число не является кубом целого числа;

Пусть событие C заключается в том, что число не является кубом целого числа. Рассмотрим противоположное событие C' — число является кубом целого числа.
Нам нужно найти, сколько чисел в диапазоне от 100 до 199 являются кубами целых чисел.
Проверим кубы целых чисел:
$4^3 = 64$ (меньше 100)
$5^3 = 125$ (находится в нашем диапазоне)
$6^3 = 216$ (больше 199)
Таким образом, только одно число, 125, является кубом целого числа в заданном диапазоне.
Число благоприятных исходов для события C' равно $m_{C'} = 1$.
Вероятность события C' равна: $P(C') = \frac{m_{C'}}{N} = \frac{1}{100}$.
Вероятность искомого события C равна $P(C) = 1 - P(C')$. $P(C) = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$.
Ответ: $\frac{99}{100}$

г) сумма его цифр больше 3.

Пусть событие D заключается в том, что сумма цифр числа больше 3. Число имеет вид $1xy$, сумма его цифр $S = 1+x+y$. Условие: $S > 3$.
Рассмотрим противоположное событие D' — сумма цифр не больше 3, то есть $S \le 3$.
$1+x+y \le 3$, что эквивалентно $x+y \le 2$.
Найдём количество пар цифр $(x, y)$, удовлетворяющих этому условию:
1. Сумма $x+y = 0$: Это возможно только если $x=0, y=0$. Получаем число 100. (1 исход)
2. Сумма $x+y = 1$: Это возможно для пар $(0, 1)$ и $(1, 0)$. Получаем числа 101 и 110. (2 исхода)
3. Сумма $x+y = 2$: Это возможно для пар $(0, 2)$, $(1, 1)$ и $(2, 0)$. Получаем числа 102, 111 и 120. (3 исхода)
Общее количество чисел, у которых сумма цифр не больше 3, равно $m_{D'} = 1 + 2 + 3 = 6$.
Вероятность события D' равна: $P(D') = \frac{m_{D'}}{N} = \frac{6}{100}$.
Тогда вероятность искомого события D (сумма цифр больше 3) равна $P(D) = 1 - P(D')$. $P(D) = 1 - \frac{6}{100} = \frac{94}{100} = \frac{47}{50}$.
Ответ: $\frac{47}{50}$