Номер 52.2, страница 208, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§52. Сочетания и размещения. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 52.2, страница 208.

52.2 В шахматном зале — 5 столов. Для проведения игры за каждый стол садится по одному шахматисту из двух встречающихся команд. В каждой команде 5 шахматистов.

а) Найдите число всех возможных составов матча (Иванов — Петров, Сидоров — Каспаров и т. д.).

б) То же, но для двух независимо проводимых матчей.

в) То же, но если во втором матче за тремя выбранными столами играют по три лучших шахматиста из каждой команды.

г) То же, что и в пункте б), но если во втором матче капитаны команд обязательно играют между собой.

а)

Для составления пар на матч необходимо определить, кто из игроков первой команды будет играть за каждым из 5 столов, и кто из игроков второй команды будет их соперником за тем же столом.

Сначала рассадим игроков первой команды. У нас есть 5 игроков и 5 столов. Число способов рассадить 5 игроков по 5 разным столам равно числу перестановок из 5 элементов:
$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ способов.

Аналогично, число способов рассадить 5 игроков второй команды по 5 столам также равно $5!$:
$P_5 = 5! = 120$ способов.

Поскольку выбор рассадки для первой команды и для второй независимы, общее число всех возможных составов матча находится произведением этих двух величин:
$N = 5! \times 5! = 120 \times 120 = 14400$.

Ответ: $14400$.

б)

Здесь речь идет о двух независимо проводимых матчах. Для каждого из матчей число возможных составов такое же, как и в пункте а), то есть $14400$.

Поскольку матчи проводятся независимо, общее число возможных составов для двух матчей будет равно произведению числа составов для каждого матча:
$N_{total} = N_1 \times N_2 = (5! \times 5!)^2 = 14400^2 = 207360000$.

Ответ: $207360000$.

в)

В этом случае мы снова имеем два независимых матча, но для второго матча есть дополнительные условия.

Число составов для первого матча остается таким же, как в пункте а):
$N_1 = 5! \times 5! = 14400$.

Теперь рассчитаем число составов для второго матча.
1. Сначала нужно выбрать 3 стола из 5, за которыми будут играть лучшие шахматисты. Число способов сделать это равно числу сочетаний из 5 по 3:
$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ способов.
2. За этими тремя столами нужно рассадить трех лучших игроков из каждой команды. Число способов рассадить 3 лучших игроков первой команды по этим 3 столам равно $3! = 6$. Число способов рассадить 3 лучших игроков второй команды равно $3! = 6$. Итого: $3! \times 3! = 36$ способов.
3. За оставшимися $5 - 3 = 2$ столами нужно рассадить оставшихся $5 - 3 = 2$ игроков из каждой команды. Число способов для игроков первой команды равно $2! = 2$. Число способов для игроков второй команды равно $2! = 2$. Итого: $2! \times 2! = 4$ способа.

Таким образом, общее число составов для второго матча ($N_2$) равно произведению этих величин:
$N_2 = C_5^3 \times (3! \times 3!) \times (2! \times 2!) = 10 \times 36 \times 4 = 1440$.

Общее число составов для двух матчей равно произведению $N_1$ и $N_2$:
$N_{total} = N_1 \times N_2 = 14400 \times 1440 = 20736000$.

Ответ: $20736000$.

г)

Этот пункт похож на предыдущий. Мы имеем два независимых матча, но с другим условием для второго матча.

Число составов для первого матча:
$N_1 = 5! \times 5! = 14400$.

Рассчитаем число составов для второго матча, где капитаны команд обязательно играют между собой.
1. Сначала выберем один стол из пяти для игры капитанов. Это можно сделать $C_5^1 = 5$ способами.
2. Капитаны садятся за этот стол (1 способ).
3. Остаются 4 стола и по 4 игрока в каждой команде. Число способов рассадить 4 игроков первой команды по 4 столам равно $4! = 24$.
4. Число способов рассадить 4 игроков второй команды по этим же 4 столам также равно $4! = 24$.

Общее число составов для второго матча ($N_2$) равно:
$N_2 = 5 \times 4! \times 4! = 5 \times 24 \times 24 = 5 \times 576 = 2880$.

Общее число составов для двух матчей равно произведению $N_1$ и $N_2$:
$N_{total} = N_1 \times N_2 = 14400 \times 2880 = 41472000$.

Ответ: $41472000$.