Номер 52.6, страница 208, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§52. Сочетания и размещения. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 52.6, страница 208.

52.6 В правильном 17-угольнике провели все стороны и все диагонали.

а) Сколько всего провели отрезков?

б) Сколько провели сторон?

в) Сколько провели диагоналей?

г) Сколько диагоналей, которые отсекают треугольник от 17-угольника?

а) Сколько всего провели отрезков?

В правильном 17-угольнике 17 вершин. Любой отрезок, соединяющий две вершины, является либо стороной, либо диагональю. Чтобы найти общее количество таких отрезков, нужно посчитать, сколькими способами можно выбрать 2 вершины из 17. Это задача на нахождение числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле: $C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашем случае, $n=17$ (число вершин), а $k=2$ (число вершин, необходимых для построения отрезка). Подставляем значения в формулу:

$C_{17}^2 = \frac{17!}{2!(17-2)!} = \frac{17!}{2!15!} = \frac{17 \times 16}{2 \times 1} = 17 \times 8 = 136$.

Ответ: 136

б) Сколько провели сторон?

По определению, многоугольник с $n$ вершинами (n-угольник) имеет $n$ сторон. Так как дан правильный 17-угольник, у него 17 сторон. В условии сказано, что провели все стороны.

Ответ: 17

в) Сколько провели диагоналей?

Все отрезки, соединяющие вершины многоугольника, делятся на стороны и диагонали. Из пункта (а) мы знаем, что общее число отрезков равно 136. Из пункта (б) мы знаем, что число сторон равно 17.

Чтобы найти число диагоналей, нужно из общего числа отрезков вычесть число сторон:

Число диагоналей = $136 - 17 = 119$.

Этот же результат можно получить, используя формулу для числа диагоналей в $n$-угольнике: $D = \frac{n(n-3)}{2}$.

При $n=17$ получаем: $D = \frac{17(17-3)}{2} = \frac{17 \times 14}{2} = 17 \times 7 = 119$.

Ответ: 119

г) Сколько диагоналей, которые отсекают треугольник от 17-угольника?

Диагональ отсекает от многоугольника треугольник в том случае, если она соединяет две вершины, между которыми вдоль границы многоугольника лежит ровно одна другая вершина. Такие диагонали являются самыми короткими.

Пусть вершины 17-угольника пронумерованы от 1 до 17. Диагональ, соединяющая, например, вершину 1 и вершину 3, вместе со сторонами (1, 2) и (2, 3) образует треугольник с вершинами 1, 2, 3. Этот треугольник "отсекается" от основной фигуры.

Для каждой вершины 17-угольника существует ровно одна такая диагональ, если мы будем двигаться в одном направлении по периметру (например, по часовой стрелке). Например, от вершины 1 идет диагональ к вершине 3, от вершины 2 — к вершине 4, ..., от вершины 16 — к вершине 1, от вершины 17 — к вершине 2. Каждая такая диагональ уникальна.

Таким образом, количество диагоналей, отсекающих треугольник, равно количеству вершин многоугольника.

Ответ: 17