Номер 52.11, страница 209, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§52. Сочетания и размещения. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 52.11, страница 209.

52.11 a) $A_x^5 = 18A_{x-2}^4;$

б) $A_{x-1}^2 - C_x^1 = 79;$

в) $C_x^3 = A_x^2;$

г) $C_x^4 = A_x^3 + C_x^3.$

a) $A_x^5 = 18A_{x-2}^4$

Воспользуемся формулой для числа размещений из $n$ по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
Исходное уравнение можно записать в виде:

$\frac{x!}{(x-5)!} = 18 \cdot \frac{(x-2)!}{((x-2)-4)!}$

$\frac{x!}{(x-5)!} = 18 \cdot \frac{(x-2)!}{(x-6)!}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется условиями $x \ge 5$ и $x-2 \ge 4$. Объединяя их, получаем $x \ge 6$, где $x$ — натуральное число.

Распишем левую и правую части уравнения:
$x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 18 \cdot (x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$.

Так как согласно ОДЗ $x \ge 6$, то выражения $(x-2)$, $(x-3)$ и $(x-4)$ не равны нулю. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $(x-2)(x-3)(x-4)$:
$x(x-1) = 18(x-5)$
$x^2 - x = 18x - 90$
$x^2 - 19x + 90 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 90 = 361 - 360 = 1$
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 - 1}{2} = 9$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 + 1}{2} = 10$

Оба корня ($x=9$ и $x=10$) удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 6$).
Ответ: 9; 10.

б) $A_{x-1}^2 - C_x^1 = 79$

Используем формулы для числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ и числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
$A_{x-1}^2 = (x-1)(x-2)$
$C_x^1 = x$

ОДЗ: $x-1 \ge 2$ и $x \ge 1$, что в совокупности дает $x \ge 3$, где $x$ — натуральное число.

Подставим выражения в уравнение:
$(x-1)(x-2) - x = 79$
$x^2 - 2x - x + 2 - x = 79$
$x^2 - 4x + 2 = 79$
$x^2 - 4x - 77 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-77) = 16 + 308 = 324 = 18^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{4 - 18}{2} = -7$
$x_2 = \frac{4 + 18}{2} = 11$

Корень $x_1 = -7$ не удовлетворяет ОДЗ, так как не является натуральным числом и меньше 3. Корень $x_2 = 11$ удовлетворяет ОДЗ ($11 \ge 3$).
Ответ: 11.

в) $C_x^3 = A_x^2$

Распишем левую и правую части по формулам:
$C_x^3 = \frac{x(x-1)(x-2)}{3!} = \frac{x(x-1)(x-2)}{6}$
$A_x^2 = x(x-1)$

ОДЗ: $x \ge 3$ и $x \ge 2$, что дает $x \ge 3$, где $x$ — натуральное число.

Подставим выражения в уравнение:
$\frac{x(x-1)(x-2)}{6} = x(x-1)$

Поскольку по ОДЗ $x \ge 3$, то $x \neq 0$ и $x-1 \neq 0$. Сократим обе части на $x(x-1)$:
$\frac{x-2}{6} = 1$
$x-2 = 6$
$x = 8$

Корень $x=8$ удовлетворяет ОДЗ ($8 \ge 3$).
Ответ: 8.

г) $C_x^4 = A_x^3 + C_x^3$

Воспользуемся комбинаторным тождеством, связывающим число размещений и сочетаний: $A_n^k = k! \cdot C_n^k$.
Тогда $A_x^3 = 3! \cdot C_x^3 = 6C_x^3$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:
$C_x^4 = 6C_x^3 + C_x^3$
$C_x^4 = 7C_x^3$

ОДЗ: $x \ge 4$ и $x \ge 3$, что в совокупности дает $x \ge 4$, где $x$ — натуральное число.

Распишем сочетания по определению:
$\frac{x!}{4!(x-4)!} = 7 \cdot \frac{x!}{3!(x-3)!}$

Поскольку $x \ge 4$, можно сократить обе части на $x!$:
$\frac{1}{4!(x-4)!} = \frac{7}{3!(x-3)!}$
Представим $4! = 4 \cdot 3!$ и $(x-3)! = (x-3) \cdot (x-4)!$:
$\frac{1}{4 \cdot 3! \cdot (x-4)!} = \frac{7}{3! \cdot (x-3) \cdot (x-4)!}$

Сократим обе части на общий множитель $3! \cdot (x-4)!$:
$\frac{1}{4} = \frac{7}{x-3}$
$x-3 = 4 \cdot 7$
$x-3 = 28$
$x = 31$

Корень $x=31$ удовлетворяет ОДЗ ($31 \ge 4$).
Ответ: 31.