Номер 52.18, страница 210, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§52. Сочетания и размещения. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 52.18, страница 210.

52.18 Встретились несколько человек и стали здороваться друг с другом. Рукопожатий было от 60 до 70. Сколько всего человек встретилось, если известно, что:

а) каждый здоровался с каждым;

б) только один человек не здоровался ни с кем;

в) только двое не поздоровались между собой;

г) четверо поздоровались только между собой?

а) каждый здоровался с каждым;

Пусть $n$ — общее количество человек. Если каждый здоровался с каждым, то количество рукопожатий $k$ равно числу сочетаний из $n$ по 2, которое вычисляется по формуле:

$k = C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

По условию задачи, количество рукопожатий было от 60 до 70, то есть $60 \le k \le 70$. Подставим формулу для $k$ в это неравенство:

$60 \le \frac{n(n-1)}{2} \le 70$

Умножим все части неравенства на 2, чтобы избавиться от дроби:

$120 \le n(n-1) \le 140$

Теперь подберем такое целое число $n$, чтобы произведение $n(n-1)$ попало в указанный диапазон. Проверим несколько значений $n$:

• Если $n=11$, то $n(n-1) = 11 \times 10 = 110$. Это значение меньше 120.
• Если $n=12$, то $n(n-1) = 12 \times 11 = 132$. Это значение удовлетворяет неравенству $120 \le 132 \le 140$.
• Если $n=13$, то $n(n-1) = 13 \times 12 = 156$. Это значение больше 140.

Единственное подходящее значение — $n=12$. При этом количество рукопожатий равно $\frac{12 \times 11}{2} = 66$, что находится в интервале [60, 70].

Ответ: 12 человек.

б) только один человек не здоровался ни с кем;

Пусть $n$ — общее количество человек. Один человек не участвовал в рукопожатиях. Значит, здоровались между собой оставшиеся $n-1$ человек. Предположим, что все они пожали друг другу руки.

Тогда количество рукопожатий $k$ равно числу сочетаний из $n-1$ по 2:

$k = C_{n-1}^2 = \frac{(n-1)(n-2)}{2}$

Используем условие $60 \le k \le 70$:

$60 \le \frac{(n-1)(n-2)}{2} \le 70$

Умножим неравенство на 2:

$120 \le (n-1)(n-2) \le 140$

Это неравенство аналогично тому, что было в пункте (а). Его решением для произведения двух последовательных целых чисел является $132$.

Следовательно, $(n-1)(n-2) = 132$, откуда $n-1 = 12$.

Находим $n$: $n = 12 + 1 = 13$.

В этом случае количество рукопожатий будет $C_{12}^2 = \frac{12 \times 11}{2} = 66$, что удовлетворяет условию.

Ответ: 13 человек.

в) только двое не поздоровались между собой;

Пусть $n$ — общее количество человек. Если бы все $n$ человек поздоровались друг с другом, общее число рукопожатий было бы $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$.

По условию, двое не пожали друг другу руки, что означает, что одно рукопожатие не состоялось. Значит, фактическое количество рукопожатий $k$ на 1 меньше максимально возможного:

$k = C_n^2 - 1 = \frac{n(n-1)}{2} - 1$

Подставим это в заданный диапазон $60 \le k \le 70$:

$60 \le \frac{n(n-1)}{2} - 1 \le 70$

Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$61 \le \frac{n(n-1)}{2} \le 71$

Умножим на 2:

$122 \le n(n-1) \le 142$

Подберем целое число $n$:

• Если $n=11$, то $n(n-1) = 110$ (меньше 122).
• Если $n=12$, то $n(n-1) = 132$. Это значение удовлетворяет неравенству $122 \le 132 \le 142$.
• Если $n=13$, то $n(n-1) = 156$ (больше 142).

Подходит только $n=12$. Количество рукопожатий при этом $k = \frac{12 \times 11}{2} - 1 = 66 - 1 = 65$, что находится в интервале [60, 70].

Ответ: 12 человек.

г) четверо поздоровались только между собой?

Пусть $n$ — общее количество человек. Условие "четверо поздоровались только между собой" означает, что группа людей разделилась на две подгруппы, которые не здоровались друг с другом.

Первая подгруппа состоит из 4 человек. Количество рукопожатий внутри этой подгруппы:

$k_1 = C_4^2 = \frac{4 \times 3}{2} = 6$

Вторая подгруппа состоит из оставшихся $n-4$ человек. Будем считать, что в этой подгруппе каждый поздоровался с каждым. Количество рукопожатий в ней:

$k_2 = C_{n-4}^2 = \frac{(n-4)(n-5)}{2}$

Общее количество рукопожатий $k$ равно сумме рукопожатий в обеих подгруппах: $k = k_1 + k_2$.

$k = 6 + \frac{(n-4)(n-5)}{2}$

Подставим в неравенство $60 \le k \le 70$:

$60 \le 6 + \frac{(n-4)(n-5)}{2} \le 70$

Вычтем 6 из всех частей:

$54 \le \frac{(n-4)(n-5)}{2} \le 64$

Умножим на 2:

$108 \le (n-4)(n-5) \le 128$

Пусть $m = n-4$. Тогда неравенство примет вид $108 \le m(m-1) \le 128$. Подберем целое $m$:

• Если $m=10$, то $m(m-1) = 90$ (меньше 108).
• Если $m=11$, то $m(m-1) = 110$. Это значение удовлетворяет неравенству $108 \le 110 \le 128$.
• Если $m=12$, то $m(m-1) = 132$ (больше 128).

Единственное подходящее значение $m=11$.

Так как $m=n-4$, то $n = m+4 = 11+4 = 15$.

При $n=15$ общее число рукопожатий $k = 6 + C_{11}^2 = 6 + \frac{11 \times 10}{2} = 6 + 55 = 61$, что удовлетворяет условию $60 \le 61 \le 70$.

Ответ: 15 человек.