Номер 52.13, страница 209, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§52. Сочетания и размещения. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 52.13, страница 209.

52.13 Найдите значение n, при котором:

а) число $C_{n+1}^2$ составляет 80 % от числа $C_n^3$;

б) число $C_{n+1}^3$ составляет 120 % от числа $C_n^4$;

в) число $C_{2n}^{n+1}$ составляет 56 % от числа $C_{2n+1}^{n-1}$;

г) число $C_{2n+3}^n$ составляет 120 % от числа $C_{2n+2}^{n+1}$.

а) По условию задачи, число $C_{n+1}^2$ составляет 80% от числа $C_n^3$. Это можно записать в виде уравнения:

$C_{n+1}^2 = 0.8 \cdot C_n^3$

Числа сочетаний определены при $n+1 \ge 2$ и $n \ge 3$. Объединяя эти условия, получаем, что $n$ должно быть целым числом и $n \ge 3$.

Распишем числа сочетаний по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:

$C_{n+1}^2 = \frac{(n+1)!}{2!(n+1-2)!} = \frac{(n+1)!}{2(n-1)!} = \frac{(n+1)n(n-1)!}{2(n-1)!} = \frac{n(n+1)}{2}$

$C_n^3 = \frac{n!}{3!(n-3)!} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)!}{6(n-3)!} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение, заменив $0.8$ на $\frac{4}{5}$:

$\frac{n(n+1)}{2} = \frac{4}{5} \cdot \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$

Поскольку $n \ge 3$, то $n \ne 0$. Можно разделить обе части уравнения на $n$:

$\frac{n+1}{2} = \frac{4(n-1)(n-2)}{30}$

$\frac{n+1}{2} = \frac{2(n-1)(n-2)}{15}$

Умножим обе части на 30:

$15(n+1) = 4(n-1)(n-2)$

$15n + 15 = 4(n^2 - 3n + 2)$

$15n + 15 = 4n^2 - 12n + 8$

$4n^2 - 27n - 7 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-27)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-7) = 729 + 112 = 841 = 29^2$.

Корни уравнения: $n_{1,2} = \frac{27 \pm 29}{8}$.

$n_1 = \frac{27+29}{8} = \frac{56}{8} = 7$

$n_2 = \frac{27-29}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$

Условию $n \ge 3$ удовлетворяет только корень $n=7$.

Ответ: $n=7$.

б) По условию, число $C_{n+1}^3$ составляет 120% от числа $C_n^4$. Запишем это в виде уравнения:

$C_{n+1}^3 = 1.2 \cdot C_n^4$

Числа сочетаний определены при $n+1 \ge 3$ и $n \ge 4$. Отсюда следует, что $n$ должно быть целым числом и $n \ge 4$.

Расписываем числа сочетаний:

$C_{n+1}^3 = \frac{(n+1)!}{3!(n-2)!} = \frac{(n+1)n(n-1)}{6}$

$C_n^4 = \frac{n!}{4!(n-4)!} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$

Подставляем в уравнение, заменив $1.2$ на $\frac{6}{5}$:

$\frac{(n+1)n(n-1)}{6} = \frac{6}{5} \cdot \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$

Так как $n \ge 4$, то $n \ne 0$ и $n-1 \ne 0$. Делим обе части на $n(n-1)$:

$\frac{n+1}{6} = \frac{6}{5} \cdot \frac{(n-2)(n-3)}{24}$

$\frac{n+1}{6} = \frac{(n-2)(n-3)}{20}$

Умножим обе части на 60:

$10(n+1) = 3(n-2)(n-3)$

$10n + 10 = 3(n^2 - 5n + 6)$

$10n + 10 = 3n^2 - 15n + 18$

$3n^2 - 25n + 8 = 0$

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-25)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 625 - 96 = 529 = 23^2$.

Корни уравнения: $n_{1,2} = \frac{25 \pm 23}{6}$.

$n_1 = \frac{25+23}{6} = \frac{48}{6} = 8$

$n_2 = \frac{25-23}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Условию $n \ge 4$ удовлетворяет только корень $n=8$.

Ответ: $n=8$.

в) По условию, число $C_{2n}^{n+1}$ составляет 56% от числа $C_{2n+1}^{n-1}$.

$C_{2n}^{n+1} = 0.56 \cdot C_{2n+1}^{n-1}$

Ограничения на $n$: $2n \ge n+1 \implies n \ge 1$ и $n-1 \ge 0 \implies n \ge 1$. Итак, $n$ — целое число, $n \ge 1$.

Запишем выражения для сочетаний:

$C_{2n}^{n+1} = \frac{(2n)!}{(n+1)!(2n-n-1)!} = \frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!}$

$C_{2n+1}^{n-1} = \frac{(2n+1)!}{(n-1)!(2n+1-n+1)!} = \frac{(2n+1)!}{(n-1)!(n+2)!}$

Подставим в уравнение, заменив $0.56$ на $\frac{14}{25}$:

$\frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!} = \frac{14}{25} \cdot \frac{(2n+1)!}{(n-1)!(n+2)!}$

Используем свойства факториалов $(2n+1)!=(2n+1)(2n)!$ и $(n+2)!=(n+2)(n+1)!$ для упрощения:

$\frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!} = \frac{14}{25} \cdot \frac{(2n+1)(2n)!}{(n-1)!(n+2)(n+1)!}$

Сокращаем общие множители $(2n)!$, $(n+1)!$ и $(n-1)!$ в обеих частях:

$1 = \frac{14}{25} \cdot \frac{2n+1}{n+2}$

Решаем полученное линейное уравнение:

$25(n+2) = 14(2n+1)$

$25n + 50 = 28n + 14$

$3n = 36$

$n = 12$

Полученное значение удовлетворяет условию $n \ge 1$.

Ответ: $n=12$.

г) По условию, число $C_{2n+3}^n$ составляет 120% от числа $C_{2n+2}^{n+1}$.

$C_{2n+3}^n = 1.2 \cdot C_{2n+2}^{n+1}$

Ограничения на $n$: $2n+3 \ge n \implies n \ge -3$ и $n \ge 0$; $2n+2 \ge n+1 \implies n \ge -1$. Итоговое ограничение: $n$ — целое неотрицательное число, $n \ge 0$.

Запишем выражения для сочетаний:

$C_{2n+3}^n = \frac{(2n+3)!}{n!(2n+3-n)!} = \frac{(2n+3)!}{n!(n+3)!}$

$C_{2n+2}^{n+1} = \frac{(2n+2)!}{(n+1)!(2n+2-n-1)!} = \frac{(2n+2)!}{(n+1)!(n+1)!}$

Подставим в уравнение, заменив $1.2$ на $\frac{6}{5}$:

$\frac{(2n+3)!}{n!(n+3)!} = \frac{6}{5} \cdot \frac{(2n+2)!}{(n+1)!(n+1)!}$

Упростим, используя $(2n+3)!=(2n+3)(2n+2)!$ и $(n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!$:

$\frac{(2n+3)(2n+2)!}{n!(n+3)(n+2)(n+1)!} = \frac{6}{5} \cdot \frac{(2n+2)!}{(n+1)!(n+1)!}$

Сократим $(2n+2)!$ и один множитель $(n+1)!$:

$\frac{2n+3}{n!(n+3)(n+2)} = \frac{6}{5(n+1)!}$

Используем $(n+1)!=(n+1)n!$ и сократим $n!$:

$\frac{2n+3}{(n+3)(n+2)} = \frac{6}{5(n+1)}$

Перемножим крест-накрест:

$5(2n+3)(n+1) = 6(n+3)(n+2)$

$5(2n^2 + 5n + 3) = 6(n^2 + 5n + 6)$

$10n^2 + 25n + 15 = 6n^2 + 30n + 36$

$4n^2 - 5n - 21 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-21) = 25 + 336 = 361 = 19^2$.

Корни уравнения: $n_{1,2} = \frac{5 \pm 19}{8}$.

$n_1 = \frac{5+19}{8} = \frac{24}{8} = 3$

$n_2 = \frac{5-19}{8} = \frac{-14}{8} = -\frac{7}{4}$

Условию $n \ge 0$ удовлетворяет только корень $n=3$.

Ответ: $n=3$.