Номер 52.7, страница 208, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§52. Сочетания и размещения. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 52.7, страница 208.

52.7 Важен или нет порядок в следующих выборах:

а) капитан волейбольной команды и его заместитель;

б) три ноты в аккорде;

в) «шесть человек останутся убирать класс!»?

Придумайте 4 различные ситуации, в двух из которых порядок выбора важен, а в двух — нет.

а) капитан волейбольной команды и его заместитель;

В данном случае порядок выбора важен. Если мы выбираем двух человек, например, Ивана и Петра, то ситуация «Иван — капитан, а Петр — его заместитель» отличается от ситуации «Петр — капитан, а Иван — его заместитель». Роли (капитан и заместитель) не являются равнозначными, поэтому перестановка выбранных людей меняет итоговый результат. В комбинаторике такие выборки, в которых важен порядок элементов, называются размещениями. Если в команде $n$ человек, то количество способов выбрать капитана и заместителя равно числу размещений из $n$ по 2: $A_n^2 = n(n-1)$.

Ответ: важен.

б) три ноты в аккорде;

В музыке аккорд — это одновременное звучание нескольких нот (в данном случае, трех). Так как ноты звучат одновременно, порядок, в котором мы их называем или выбираем, не влияет на итоговое звучание. Например, до-мажорный аккорд состоит из нот «до», «ми», «соль». Неважно, в какой последовательности мы их перечислим — итоговый аккорд будет тем же. Следовательно, порядок выбора не важен. Такие выборки, в которых порядок не важен, называются сочетаниями. Количество возможных трезвучий из 12 нот хроматической гаммы равно числу сочетаний из 12 по 3: $C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = 220$.

Ответ: не важен.

в) «шесть человек останутся убирать класс!»?

Здесь мы выбираем группу из шести человек для выполнения одной и той же задачи — уборки класса. Внутри этой группы нет распределения ролей или обязанностей, все шестеро равноправны. Поэтому не имеет значения, в каком порядке были выбраны эти шесть человек. Группа, состоящая из учеников {А, Б, В, Г, Д, Е}, ничем не отличается от группы {Е, Д, Г, В, Б, А}. Порядок выбора не важен. Это задача на сочетания. Если в классе $n$ учеников, то количество способов выбрать 6 дежурных равно числу сочетаний из $n$ по 6: $C_n^6 = \frac{n!}{6!(n-6)!}$.

Ответ: не важен.

Придумайте 4 различные ситуации, в двух из которых порядок выбора важен, а в двух — нет.

Ситуации, в которых порядок важен (размещения):

1. Распределение призовых мест. В финальном забеге на 100 метров участвуют 8 спортсменов. Сколькими способами могут быть распределены золотая, серебряная и бронзовая медали? Здесь важен не только состав тройки призеров, но и кто какое место займет.

2. Составление пароля. Пароль от почтового ящика состоит из определенной последовательности символов. Если поменять символы местами, пароль станет неверным. Например, «qwe123» и «321ewq» — это разные пароли.

Ситуации, в которых порядок не важен (сочетания):

1. Выбор фруктов для покупки. Для покупки нужно выбрать 4 вида фруктов из 10 имеющихся в магазине. Порядок, в котором фрукты кладут в корзину, не изменит итоговый набор продуктов.

2. Формирование туристической группы. Из 25 человек нужно выбрать 5 для поездки в другой город. Если все участники поездки имеют равные права и обязанности, то порядок их выбора не имеет значения.

Ответ:
Две ситуации, где порядок важен: 1) распределение трех призовых мест (золото, серебро, бронза) между 8 участниками; 2) составление пароля из набора символов.
Две ситуации, где порядок не важен: 1) выбор 4 видов фруктов из 10 для покупки; 2) выбор 5 туристов из 25 человек для формирования группы.