Номер 52.4, страница 208, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§52. Сочетания и размещения. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 52.4, страница 208.

52.4 Найдите наименьшее натуральное число n, для которого:

а) верно неравенство $(n + 1)! > (0,99n + 5) \cdot n!$;

б) верно неравенство $(n + 1)! > (n + 333) \cdot (n - 1)!$;

в) число $\frac{2^n}{n!}$ меньше единицы;

г) число $n!$ составляет более $1000 \%$ от числа $(n - 1)!$

а) Исходное неравенство: $(n + 1)! > (0,99n + 5) \cdot n!$. Мы ищем наименьшее натуральное число $n$, для которого это неравенство верно. Используем определение факториала: $(n + 1)! = (n + 1) \cdot n!$. Подставив это в неравенство, получаем:$(n + 1) \cdot n! > (0,99n + 5) \cdot n!$.Поскольку $n$ — натуральное число, $n!$ является положительным числом. Следовательно, мы можем разделить обе части неравенства на $n!$, не меняя знака неравенства:$n + 1 > 0,99n + 5$.Теперь решим это линейное неравенство:$n - 0,99n > 5 - 1$$0,01n > 4$Умножим обе части на 100, чтобы избавиться от дроби:$n > 400$.Наименьшее натуральное число $n$, которое удовлетворяет условию $n > 400$, это 401.Ответ: 401

б) Исходное неравенство: $(n + 1)! > (n + 333) \cdot (n - 1)!$. Для натуральных $n \ge 1$ выражение $(n - 1)!$ определено. Используем свойство факториала: $(n + 1)! = (n + 1) \cdot n \cdot (n - 1)!$. Подставим это в неравенство:$(n + 1) \cdot n \cdot (n - 1)! > (n + 333) \cdot (n - 1)!$.Поскольку $(n - 1)! > 0$ для всех натуральных $n$, мы можем разделить обе части неравенства на $(n - 1)!$:$n(n + 1) > n + 333$.Раскроем скобки и упростим неравенство:$n^2 + n > n + 333$$n^2 > 333$.Теперь нам нужно найти наименьшее натуральное число $n$, квадрат которого больше 333. Проверим квадраты целых чисел, близких к $\sqrt{333}$:$18^2 = 324$$19^2 = 361$.Так как $18^2 = 324 < 333$, а $19^2 = 361 > 333$, то наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее неравенству $n^2 > 333$, это 19.Ответ: 19

в) Нам нужно найти наименьшее натуральное число $n$, для которого число $\frac{2^n}{n!}$ меньше единицы. Запишем это в виде неравенства:$\frac{2^n}{n!} < 1$.Проверим значения этого выражения для первых нескольких натуральных чисел $n$:

• при $n=1: \frac{2^1}{1!} = \frac{2}{1} = 2$, что не меньше 1.
• при $n=2: \frac{2^2}{2!} = \frac{4}{2} = 2$, что не меньше 1.
• при $n=3: \frac{2^3}{3!} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} > 1$, что не меньше 1.
• при $n=4: \frac{2^4}{4!} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3} < 1$.

Впервые неравенство выполняется при $n=4$. Таким образом, наименьшее натуральное число, удовлетворяющее данному условию, это 4.Ответ: 4

г) Условие "число $n!$ составляет более 1000 % от числа $(n - 1)!$" означает, что $n!$ строго больше, чем 1000% от $(n - 1)!$. Переведем проценты в коэффициент: $1000\% = \frac{1000}{100} = 10$. Таким образом, условие можно записать в виде неравенства:$n! > 10 \cdot (n - 1)!$.Используя свойство факториала $n! = n \cdot (n - 1)!$, подставим его в неравенство (это справедливо для $n \ge 1$, так как $(n-1)!$ должно быть определено):$n \cdot (n - 1)! > 10 \cdot (n - 1)!$.Поскольку $(n-1)! > 0$ для $n \ge 1$, мы можем разделить обе части на $(n - 1)!$:$n > 10$.Наименьшее натуральное число $n$, которое больше 10, это 11.Ответ: 11