Номер 51.9, страница 207, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§51. Простейшие вероятностные задачи. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 51.9, страница 207.

51.9 Из костей домино выбрали одну. Какова вероятность того, что:

а) она является дублем;

б) на ней выпала «шестёрка»;

в) произведение очков на ней меньше 26;

г) модуль разности очков больше 1?

Для решения задачи сначала определим общее число костей в стандартном наборе домино. В домино используются числа от 0 (пусто) до 6. Каждая кость представляет собой пару чисел (a, b), где a и b — целые числа от 0 до 6, причем пара (a, b) и (b, a) — это одна и та же кость.

Общее число костей (N), то есть общее число всех возможных исходов, можно рассчитать как сумму членов арифметической прогрессии: 7 (кости с нулем) + 6 (кости с единицей без нуля) + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 (кость 6-6) = 28. Также можно использовать формулу для сочетаний с повторениями из 7 элементов (числа от 0 до 6) по 2 (две половинки кости): $N = C_{n+k-1}^{k} = C_{7+2-1}^{2} = C_{8}^{2} = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$. Итак, всего в наборе 28 костей домино. Это общее число равновозможных исходов для всех подпунктов задачи.

а) она является дублем;

Событие A — выбранная кость является дублем. Дубли — это кости, у которых числа на обеих половинках совпадают. В наборе домино есть следующие дубли: (0,0), (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6). Всего 7 дублей. Это число благоприятных исходов, $m_a = 7$.

Вероятность события A вычисляется по классической формуле вероятности как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P(A) = \frac{m_a}{N}$. $P(A) = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

б) на ней выпала «шестёрка»;

Событие B — на выбранной кости есть число 6. Перечислим все кости, на которых есть хотя бы одна шестёрка: (0,6), (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,6). Всего 7 таких костей. Число благоприятных исходов $m_b = 7$.

Вероятность события B: $P(B) = \frac{m_b}{N}$. $P(B) = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

в) произведение очков на ней меньше 26;

Событие C — произведение очков на кости меньше 26. Чтобы найти количество благоприятных исходов, удобнее посчитать количество неблагоприятных исходов (противоположное событие C'), то есть найти кости, у которых произведение очков $a \cdot b \ge 26$. Максимальное число очков на одной половинке равно 6, поэтому максимальное возможное произведение $6 \cdot 6 = 36$.

Проверим пары, которые могут дать произведение, близкое к 26. Пары с 4: максимальное произведение $4 \cdot 6 = 24$, что меньше 26. Пары с 5: $5 \cdot 5 = 25$ (меньше 26), $5 \cdot 6 = 30$ (больше или равно 26). Кость (5,6) не подходит. Пары с 6: $6 \cdot 6 = 36$ (больше или равно 26). Кость (6,6) не подходит.

Таким образом, есть только 2 кости, которые не удовлетворяют условию: (5,6) и (6,6). Число неблагоприятных исходов равно 2. Тогда число благоприятных исходов $m_c = N - 2 = 28 - 2 = 26$.

Вероятность события C: $P(C) = \frac{m_c}{N}$. $P(C) = \frac{26}{28} = \frac{13}{14}$.

Ответ: $\frac{13}{14}$

г) модуль разности очков больше 1?

Событие D — модуль разности очков на кости больше 1, то есть $|a - b| > 1$. Рассмотрим противоположное событие D' — модуль разности очков меньше или равен 1, то есть $|a - b| \le 1$. Это означает, что разность равна 0 или 1.

Случай 1: $|a - b| = 0$. Это означает, что $a = b$. Такие кости — дубли. Их 7: (0,0), (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6).

Случай 2: $|a - b| = 1$. Это кости с соседними по значению числами. Их 6: (0,1), (1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6).

Общее число исходов, не благоприятствующих событию D (то есть благоприятствующих событию D'), равно сумме исходов из этих двух случаев: $7 + 6 = 13$. Следовательно, число исходов, благоприятствующих событию D, равно $m_d = N - 13 = 28 - 13 = 15$.

Вероятность события D: $P(D) = \frac{m_d}{N}$. $P(D) = \frac{15}{28}$.

Ответ: $\frac{15}{28}$