Номер 51.11, страница 207, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§51. Простейшие вероятностные задачи. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 51.11, страница 207.

51.11 Из пяти чисел 1, 2, 3, 4, 5 поочерёдно выбирают два. Найдите вероятность того, что:

а) первое из чисел меньше второго;

б) эти два числа — длины катетов прямоугольного треугольника с целочисленной гипотенузой;

в) произведение этих чисел оканчивается нулём;

г) первое из чисел делится на второе.

Сначала определим общее число возможных исходов. Из пяти чисел (1, 2, 3, 4, 5) поочерёдно выбирают два. Это означает, что выборки упорядочены и без повторений. Число таких выборок (размещений) равно $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, где $n=5$ и $k=2$.

Общее число исходов $N = A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = 5 \times 4 = 20$.

а) первое из чисел меньше второго;

Пусть событие $A$ заключается в том, что первое выбранное число ($a$) меньше второго ($b$). Нам нужно найти количество пар $(a, b)$, для которых $a < b$. Перечислим все благоприятные исходы:

- для $a=1$: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5) — 4 исхода;
- для $a=2$: (2, 3), (2, 4), (2, 5) — 3 исхода;
- для $a=3$: (3, 4), (3, 5) — 2 исхода;
- для $a=4$: (4, 5) — 1 исход.

Общее число благоприятных исходов $m_a = 4 + 3 + 2 + 1 = 10$.

Вероятность события $A$ равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(A) = \frac{m_a}{N} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) эти два числа — длины катетов прямоугольного треугольника с целочисленной гипотенузой;

Пусть событие $B$ заключается в том, что выбранные числа $a$ и $b$ являются катетами прямоугольного треугольника с целочисленной гипотенузой $c$. Согласно теореме Пифагора, должно выполняться равенство $a^2 + b^2 = c^2$, где $c$ — целое число. Нам нужно найти упорядоченные пары $(a, b)$ из нашего множества, которые удовлетворяют этому условию.

Проверим все возможные комбинации катетов из чисел {1, 2, 3, 4, 5}:

$1^2+2^2=5$, $1^2+3^2=10$, $1^2+4^2=17$, $1^2+5^2=26$,
$2^2+3^2=13$, $2^2+4^2=20$, $2^2+5^2=29$,
$3^2+4^2=9+16=25=5^2$. Эта пара подходит, гипотенуза $c=5$.
$3^2+5^2=34$,
$4^2+5^2=41$.

Единственная пара чисел, которая образует Пифагорову тройку, — это {3, 4}. Так как числа выбираются поочерёдно, порядок важен. Следовательно, благоприятными исходами являются пары (3, 4) и (4, 3).

Число благоприятных исходов $m_b = 2$.

Вероятность события $B$ равна:

$P(B) = \frac{m_b}{N} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$.

Ответ: $\frac{1}{10}$

в) произведение этих чисел оканчивается нулём;

Пусть событие $C$ заключается в том, что произведение выбранных чисел $a \times b$ оканчивается нулём. Это означает, что произведение должно быть кратно 10. Чтобы число было кратно 10, оно должно быть кратно 2 и 5 одновременно.

В наборе {1, 2, 3, 4, 5} есть только одно число, кратное 5 — это 5. Значит, одно из выбранных чисел обязательно должно быть 5. Второе число должно быть чётным, чтобы произведение было кратно 2. В наборе есть два чётных числа: 2 и 4.

Таким образом, возможны следующие пары:

- Одно число 2, другое 5. Пары: (2, 5) и (5, 2). Произведение равно 10.
- Одно число 4, другое 5. Пары: (4, 5) и (5, 4). Произведение равно 20.

Число благоприятных исходов $m_c = 2 + 2 = 4$.

Вероятность события $C$ равна:

$P(C) = \frac{m_c}{N} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$

г) первое из чисел делится на второе.

Пусть событие $D$ заключается в том, что первое выбранное число $a$ делится нацело на второе выбранное число $b$. Найдём все упорядоченные пары $(a, b)$, удовлетворяющие этому условию.

Переберём возможные значения для второго числа $b$:

- Если $b=1$, то $a$ может быть любым из оставшихся чисел {2, 3, 4, 5}. Получаем 4 пары: (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1).
- Если $b=2$, то $a$ должно быть кратно 2. Из оставшихся чисел {1, 3, 4, 5} подходит только 4. Получаем 1 пару: (4, 2).
- Если $b=3$, то $a$ должно быть кратно 3. Среди чисел {1, 2, 4, 5} таких нет.
- Если $b=4$, то $a$ должно быть кратно 4. Среди чисел {1, 2, 3, 5} таких нет.
- Если $b=5$, то $a$ должно быть кратно 5. Среди чисел {1, 2, 3, 4} таких нет.

Общее число благоприятных исходов $m_d = 4 + 1 = 5$.

Вероятность события $D$ равна:

$P(D) = \frac{m_d}{N} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$