Номер 51.11, страница 207, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. §51. Простейшие вероятностные задачи - номер 51.11, страница 207.

Условие.

51.11 Из пяти чисел 1, 2, 3, 4, 5 поочерёдно выбирают два. Найдите вероятность того, что:

а) первое из чисел меньше второго;

б) эти два числа — длины катетов прямоугольного треугольника с целочисленной гипотенузой;

в) произведение этих чисел оканчивается нулём;

г) первое из чисел делится на второе.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Сначала определим общее число возможных исходов. Из пяти чисел (1, 2, 3, 4, 5) поочерёдно выбирают два. Это означает, что выборки упорядочены и без повторений. Число таких выборок (размещений) равно $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, где $n=5$ и $k=2$.

Общее число исходов $N = A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = 5 \times 4 = 20$.

а) первое из чисел меньше второго;

Пусть событие $A$ заключается в том, что первое выбранное число ($a$) меньше второго ($b$). Нам нужно найти количество пар $(a, b)$, для которых $a < b$. Перечислим все благоприятные исходы:

- для $a=1$: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5) — 4 исхода;
- для $a=2$: (2, 3), (2, 4), (2, 5) — 3 исхода;
- для $a=3$: (3, 4), (3, 5) — 2 исхода;
- для $a=4$: (4, 5) — 1 исход.

Общее число благоприятных исходов $m_a = 4 + 3 + 2 + 1 = 10$.

Вероятность события $A$ равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(A) = \frac{m_a}{N} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) эти два числа — длины катетов прямоугольного треугольника с целочисленной гипотенузой;

Пусть событие $B$ заключается в том, что выбранные числа $a$ и $b$ являются катетами прямоугольного треугольника с целочисленной гипотенузой $c$. Согласно теореме Пифагора, должно выполняться равенство $a^2 + b^2 = c^2$, где $c$ — целое число. Нам нужно найти упорядоченные пары $(a, b)$ из нашего множества, которые удовлетворяют этому условию.

Проверим все возможные комбинации катетов из чисел {1, 2, 3, 4, 5}:

$1^2+2^2=5$, $1^2+3^2=10$, $1^2+4^2=17$, $1^2+5^2=26$,
$2^2+3^2=13$, $2^2+4^2=20$, $2^2+5^2=29$,
$3^2+4^2=9+16=25=5^2$. Эта пара подходит, гипотенуза $c=5$.
$3^2+5^2=34$,
$4^2+5^2=41$.

Единственная пара чисел, которая образует Пифагорову тройку, — это {3, 4}. Так как числа выбираются поочерёдно, порядок важен. Следовательно, благоприятными исходами являются пары (3, 4) и (4, 3).

Число благоприятных исходов $m_b = 2$.

Вероятность события $B$ равна:

$P(B) = \frac{m_b}{N} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$.

Ответ: $\frac{1}{10}$

в) произведение этих чисел оканчивается нулём;

Пусть событие $C$ заключается в том, что произведение выбранных чисел $a \times b$ оканчивается нулём. Это означает, что произведение должно быть кратно 10. Чтобы число было кратно 10, оно должно быть кратно 2 и 5 одновременно.

В наборе {1, 2, 3, 4, 5} есть только одно число, кратное 5 — это 5. Значит, одно из выбранных чисел обязательно должно быть 5. Второе число должно быть чётным, чтобы произведение было кратно 2. В наборе есть два чётных числа: 2 и 4.

Таким образом, возможны следующие пары:

- Одно число 2, другое 5. Пары: (2, 5) и (5, 2). Произведение равно 10.
- Одно число 4, другое 5. Пары: (4, 5) и (5, 4). Произведение равно 20.

Число благоприятных исходов $m_c = 2 + 2 = 4$.

Вероятность события $C$ равна:

$P(C) = \frac{m_c}{N} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$

г) первое из чисел делится на второе.

Пусть событие $D$ заключается в том, что первое выбранное число $a$ делится нацело на второе выбранное число $b$. Найдём все упорядоченные пары $(a, b)$, удовлетворяющие этому условию.

Переберём возможные значения для второго числа $b$:

- Если $b=1$, то $a$ может быть любым из оставшихся чисел {2, 3, 4, 5}. Получаем 4 пары: (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1).
- Если $b=2$, то $a$ должно быть кратно 2. Из оставшихся чисел {1, 3, 4, 5} подходит только 4. Получаем 1 пару: (4, 2).
- Если $b=3$, то $a$ должно быть кратно 3. Среди чисел {1, 2, 4, 5} таких нет.
- Если $b=4$, то $a$ должно быть кратно 4. Среди чисел {1, 2, 3, 5} таких нет.
- Если $b=5$, то $a$ должно быть кратно 5. Среди чисел {1, 2, 3, 4} таких нет.

Общее число благоприятных исходов $m_d = 4 + 1 = 5$.

Вероятность события $D$ равна:

$P(D) = \frac{m_d}{N} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$