Номер 51.12, страница 207, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§51. Простейшие вероятностные задачи. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 51.12, страница 207.

51.12 Случайно и поочерёдно нажимают три клавиши одной октавы.

Найдите вероятность того, что:

а) не была нажата «фа»;

б) не были нажаты ни «до», ни «си»;

в) была нажата «ля»;

г) получилась последовательность «до-ми-соль» (до-мажорное трезвучие).

Для решения задачи сначала определим общее число возможных исходов. В стандартной музыкальной октаве 7 основных нот (белых клавиш): до, ре, ми, фа, соль, ля, си. По условию, случайно и поочерёдно нажимают три клавиши. Это означает, что мы выбираем 3 различные клавиши из 7, и порядок их нажатия важен. Таким образом, мы имеем дело с размещениями без повторений.

Общее число возможных исходов $N$ – это число размещений из 7 элементов по 3, которое вычисляется по формуле:

$N = A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, где $n=7$ (общее число клавиш) и $k=3$ (число нажимаемых клавиш).

$N = A_7^3 = \frac{7!}{(7-3)!} = \frac{7!}{4!} = 7 \times 6 \times 5 = 210$.

Таким образом, существует 210 различных последовательностей из трёх нот.

---

а) не была нажата «фа»;

Чтобы нота «фа» не была нажата, все три клавиши должны быть выбраны из оставшихся 6 нот (до, ре, ми, соль, ля, си). Число благоприятных исходов $m_a$ – это число размещений из 6 элементов по 3:

$m_a = A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 6 \times 5 \times 4 = 120$.

Вероятность этого события $P(A)$ равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(A) = \frac{m_a}{N} = \frac{120}{210} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}$.

Ответ: $\frac{4}{7}$

---

б) не были нажаты ни «до», ни «си»;

Чтобы не были нажаты ни «до», ни «си», все три клавиши должны быть выбраны из оставшихся 5 нот (ре, ми, фа, соль, ля). Число благоприятных исходов $m_b$ – это число размещений из 5 элементов по 3:

$m_b = A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 \times 4 \times 3 = 60$.

Вероятность этого события $P(B)$ равна:

$P(B) = \frac{m_b}{N} = \frac{60}{210} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$.

Ответ: $\frac{2}{7}$

---

в) была нажата «ля»;

Это событие является противоположным событию «нота "ля" не была нажата». Найдем вероятность противоположного события и вычтем её из 1.

Пусть событие $C$ – «была нажата "ля"», а событие $\overline{C}$ – «не была нажата "ля"».

Вероятность того, что «ля» не была нажата, рассчитывается аналогично пункту а). Мы выбираем 3 клавиши из 6 оставшихся (все, кроме «ля»). Число таких исходов $m_{\overline{C}} = A_6^3 = 120$.

Вероятность не нажать «ля»:

$P(\overline{C}) = \frac{m_{\overline{C}}}{N} = \frac{120}{210} = \frac{4}{7}$.

Тогда вероятность того, что «ля» была нажата, равна:

$P(C) = 1 - P(\overline{C}) = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$.

Альтернативный способ:
Посчитаем число благоприятных исходов напрямую. Нота «ля» должна входить в выбранную тройку.
1. Выберем место для ноты «ля» в последовательности из трех нажатий. Есть 3 варианта (первое, второе или третье место).
2. Оставшиеся 2 места в последовательности нужно заполнить нотами из оставшихся 6 нот. Число способов для этого - $A_6^2 = 6 \times 5 = 30$.
Общее число благоприятных исходов: $m_c = 3 \times A_6^2 = 3 \times 30 = 90$.
Вероятность: $P(C) = \frac{m_c}{N} = \frac{90}{210} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}$.
Результаты совпадают.

Ответ: $\frac{3}{7}$

---

г) получилась последовательность «до-ми-соль» (до-мажорное трезвучие).

Событие заключается в том, что была нажата конкретная упорядоченная последовательность клавиш: «до», затем «ми», затем «соль». Эта последовательность уникальна.

Такая последовательность является одним-единственным из всех возможных исходов. То есть число благоприятных исходов $m_d = 1$.

Общее число возможных последовательностей, как мы посчитали ранее, равно $N = 210$.

Вероятность этого события $P(D)$ равна:

$P(D) = \frac{m_d}{N} = \frac{1}{210}$.

Ответ: $\frac{1}{210}$