Номер 51.10, страница 207, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. §51. Простейшие вероятностные задачи - номер 51.10, страница 207.

Условие.

51.10 В русском языке 33 буквы: 10 гласных, 21 согласная и две специальные буквы (ъ и ь). Два ученика независимо друг от друга выбрали по одной букве русского алфавита. Какова вероятность того, что:

a) были выбраны различные буквы;

б) обе выбранные буквы — гласные;

в) среди выбранных букв есть согласные;

г) это две соседние буквы алфавита?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

В задаче рассматривается случайный выбор двух букв из 33 букв русского алфавита двумя учениками независимо друг от друга. Общее число возможных исходов равно произведению числа вариантов для каждого ученика, поскольку выборы независимы.

Всего букв в алфавите: $N = 33$.

Количество гласных: $N_г = 10$.

Количество согласных: $N_с = 21$.

Количество специальных букв (ъ, ь): $N_{сп} = 2$.

Общее число элементарных исходов (упорядоченных пар букв) в данном эксперименте равно $n = 33 \times 33 = 1089$.

а) были выбраны различные буквы;

Найдем вероятность события A, что были выбраны различные буквы. Проще вычислить вероятность противоположного события A', состоящего в том, что были выбраны одинаковые буквы.

Первый ученик может выбрать любую из 33 букв. Чтобы буквы совпали, второй ученик должен выбрать ту же самую букву. Таким образом, для каждой из 33 букв, выбранной первым учеником, есть только один благоприятный исход для второго.

Количество исходов, благоприятствующих событию A' (выбраны одинаковые буквы), равно $m_{A'} = 33$ (пары А-А, Б-Б, ..., Я-Я).

Вероятность события A' равна: $P(A') = \frac{m_{A'}}{n} = \frac{33}{1089} = \frac{1}{33}$.

Вероятность события A (выбраны различные буквы) находится как $P(A) = 1 - P(A')$. $P(A) = 1 - \frac{1}{33} = \frac{32}{33}$.

Альтернативный способ: Первый ученик может выбрать любую из 33 букв. Чтобы вторая буква отличалась от первой, у второго ученика есть $33 - 1 = 32$ варианта. Число благоприятных исходов равно $m_A = 33 \times 32 = 1056$. Вероятность события A: $P(A) = \frac{m_A}{n} = \frac{33 \times 32}{33 \times 33} = \frac{32}{33}$.

Ответ: $ \frac{32}{33} $

б) обе выбранные буквы — гласные;

Пусть B — событие, при котором оба ученика выбрали гласные буквы. В русском алфавите 10 гласных букв.

Выбор каждого ученика независим. Вероятность того, что первый ученик выберет гласную, равна $P_1 = \frac{10}{33}$.

Вероятность того, что второй ученик выберет гласную, также равна $P_2 = \frac{10}{33}$.

Вероятность того, что оба события произойдут одновременно, равна произведению их вероятностей: $P(B) = P_1 \times P_2 = \frac{10}{33} \times \frac{10}{33} = \frac{100}{1089}$.

Альтернативный способ: Число способов выбрать пару гласных букв равно $10 \times 10 = 100$. Это число благоприятных исходов $m_B$. Общее число исходов $n = 33 \times 33 = 1089$. Вероятность события B: $P(B) = \frac{m_B}{n} = \frac{100}{1089}$.

Ответ: $ \frac{100}{1089} $

в) среди выбранных букв есть согласные;

Пусть C — событие, при котором среди выбранных букв есть хотя бы одна согласная. Проще найти вероятность противоположного события C', которое заключается в том, что среди выбранных букв нет ни одной согласной.

Буквы, не являющиеся согласными, — это 10 гласных и 2 специальные буквы. Всего их $10 + 2 = 12$.

Событие C' означает, что оба ученика выбрали буквы из этих 12-ти.

Вероятность того, что первый ученик выберет не согласную букву, равна $\frac{12}{33}$.

Вероятность того, что второй ученик выберет не согласную букву, также равна $\frac{12}{33}$.

Вероятность события C' (оба выбрали не согласные) равна: $P(C') = \frac{12}{33} \times \frac{12}{33} = \frac{144}{1089}$.

Дробь можно сократить на 9: $\frac{144 \div 9}{1089 \div 9} = \frac{16}{121}$.

Тогда вероятность события C (есть хотя бы одна согласная) равна $P(C) = 1 - P(C')$. $P(C) = 1 - \frac{16}{121} = \frac{121 - 16}{121} = \frac{105}{121}$.

Ответ: $ \frac{105}{121} $

г) это две соседние буквы алфавита?

Пусть D — событие, когда выбраны две соседние буквы алфавита. Например, (А, Б) или (Б, А).

Рассмотрим все возможные пары соседних букв в алфавите: (А, Б), (Б, В), ..., (Ю, Я). Всего таких пар 32.

Для каждой такой пары, например, для букв $L_k$ и $L_{k+1}$, благоприятными исходами будут две упорядоченные пары: $(L_k, L_{k+1})$ и $(L_{k+1}, L_k)$. Это означает, что первый ученик мог выбрать $L_k$, а второй $L_{k+1}$, либо наоборот.

Таким образом, общее количество благоприятных исходов равно $m_D = 32 \times 2 = 64$.

Другой способ подсчета: Если первый ученик выбирает первую ('А') или последнюю ('Я') букву алфавита (2 варианта), то у второго ученика есть только 1 вариант для выбора соседней буквы. Это дает $2 \times 1 = 2$ исхода.

Если первый ученик выбирает любую другую букву (с 2-й по 32-ю, всего $33 - 2 = 31$ вариант), то у второго ученика есть 2 варианта для выбора соседней буквы (предыдущая и следующая). Это дает $31 \times 2 = 62$ исхода.

Общее число благоприятных исходов $m_D = 2 + 62 = 64$.

Общее число всех возможных исходов $n = 33 \times 33 = 1089$.

Вероятность события D равна: $P(D) = \frac{m_D}{n} = \frac{64}{1089}$.

Эта дробь несократима, так как $64 = 2^6$, а $1089 = 33^2 = (3 \times 11)^2 = 3^2 \times 11^2$, и у них нет общих делителей.

Ответ: $ \frac{64}{1089} $