Номер 51.8, страница 206, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§51. Простейшие вероятностные задачи. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 51.8, страница 206.

51.8 Игральную кость бросили дважды. Найдите вероятность того, что:

а) среди выпавших чисел нет ни одной пятёрки;

б) среди выпавших чисел есть или пятёрка, или шестёрка;

в) сумма выпавших чисел меньше 11;

г) произведение выпавших чисел меньше 25.

При бросании стандартной шестигранной игральной кости дважды существует $6 \times 6 = 36$ равновозможных исходов. Каждый исход представляет собой упорядоченную пару чисел $(x, y)$, где $x$ — результат первого броска, а $y$ — результат второго. Общее число всех возможных исходов $N = 36$.

а) среди выпавших чисел нет ни одной пятёрки;

Для выполнения этого условия на первом кубике не должна выпасть пятёрка, что оставляет 5 возможных исходов (1, 2, 3, 4, 6). Аналогично, на втором кубике также 5 возможных исходов. Число благоприятных исходов $m$ находим по правилу произведения:

$m = 5 \times 5 = 25$

Вероятность $P$ этого события — это отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{m}{N} = \frac{25}{36}$

Ответ: $\frac{25}{36}$

б) среди выпавших чисел есть или пятёрка, или шестёрка;

Проще найти вероятность противоположного события: "среди выпавших чисел нет ни пятёрки, ни шестёрки". В этом случае на каждом кубике могут выпасть только числа из набора {1, 2, 3, 4}.

Для первого броска есть 4 варианта, и для второго броска также 4 варианта. Число исходов, благоприятных для противоположного события, равно:

$m_{\text{прот}} = 4 \times 4 = 16$

Вероятность противоположного события:

$P_{\text{прот}} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$

Вероятность искомого события равна разности единицы и вероятности противоположного события:

$P = 1 - P_{\text{прот}} = 1 - \frac{16}{36} = \frac{36 - 16}{36} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$

Ответ: $\frac{5}{9}$

в) сумма выпавших чисел меньше 11;

Рассмотрим противоположное событие: "сумма выпавших чисел больше или равна 11". Перечислим исходы, благоприятные для этого события. Сумма может быть равна 11 или 12.

Сумма равна 11 для пар (5, 6) и (6, 5) — это 2 исхода.

Сумма равна 12 для пары (6, 6) — это 1 исход.

Общее число исходов, благоприятных для противоположного события: $m_{\text{прот}} = 2 + 1 = 3$.

Вероятность противоположного события:

$P_{\text{прот}} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

Вероятность искомого события (сумма меньше 11) равна:

$P = 1 - P_{\text{прот}} = 1 - \frac{3}{36} = \frac{33}{36} = \frac{11}{12}$

Ответ: $\frac{11}{12}$

г) произведение выпавших чисел меньше 25.

Рассмотрим противоположное событие: "произведение выпавших чисел больше или равно 25". Перечислим исходы, благоприятные для этого события. Чтобы произведение было не меньше 25, оба множителя должны быть достаточно большими. Проверим возможные пары. Если один из множителей 4 или меньше, максимальное произведение будет $4 \times 6 = 24$, что меньше 25. Следовательно, оба числа должны быть 5 или 6. Пары, удовлетворяющие условию: (5, 5) с произведением 25; (5, 6) с произведением 30; (6, 5) с произведением 30; (6, 6) с произведением 36.

Всего исходов, благоприятных для противоположного события, $m_{\text{прот}} = 4$.

Вероятность противоположного события:

$P_{\text{прот}} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$

Вероятность искомого события (произведение меньше 25) равна:

$P = 1 - P_{\text{прот}} = 1 - \frac{4}{36} = \frac{32}{36} = \frac{8}{9}$

Ответ: $\frac{8}{9}$