Номер 51.2, страница 205, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§51. Простейшие вероятностные задачи. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 51.2, страница 205.

51.2 На координатной плоскости отмечены все точки, абсциссы и ординаты которых равны одному из следующих чисел: $-4, -1, 1, 4, 8$ (повторения допускаются). Из отмеченных точек случайным образом выбирают одну. Найдите вероятность того, что она лежит:

а) правее оси ординат;

б) ниже оси абсцисс;

в) в четвёртой координатной четверти;

г) ниже прямой $y = x$.

По условию задачи, абсцисса $x$ и ордината $y$ каждой точки выбираются из множества чисел $S = \{-4, -1, 1, 4, 8\}$. Это множество состоит из 5 элементов.

Так как выбор абсциссы и ординаты происходит независимо и с повторениями, общее число всех возможных точек $(x, y)$ равно произведению числа вариантов для $x$ и числа вариантов для $y$.

Общее число исходов $N = 5 \times 5 = 25$.

Вероятность любого события $A$ будем вычислять по классической формуле вероятности: $P(A) = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $N$ — общее число равновозможных исходов.

а) правее оси ординат
Точка лежит правее оси ординат (оси $Oy$), если её абсцисса $x$ является положительным числом, то есть $x > 0$. Из множества $S$ этому условию удовлетворяют три числа: $\{1, 4, 8\}$. Ордината $y$ при этом может быть любой из пяти чисел в множестве $S$.
Таким образом, число благоприятных исходов $m_a$ равно: $m_a = 3 \times 5 = 15$.
Вероятность того, что выбранная точка лежит правее оси ординат, равна:
$P_a = \frac{m_a}{N} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$.

б) ниже оси абсцисс
Точка лежит ниже оси абсцисс (оси $Ox$), если её ордината $y$ является отрицательным числом, то есть $y < 0$. Из множества $S$ этому условию удовлетворяют два числа: $\{-4, -1\}$. Абсцисса $x$ может быть любой из пяти чисел в множестве $S$.
Число благоприятных исходов $m_б$ равно: $m_б = 5 \times 2 = 10$.
Вероятность того, что выбранная точка лежит ниже оси абсцисс, равна:
$P_б = \frac{m_б}{N} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$.

в) в четвёртой координатной четверти
Точка находится в четвёртой координатной четверти, если её абсцисса положительна ($x > 0$), а ордината отрицательна ($y < 0$).
Количество возможных положительных значений для $x$: 3 (числа $1, 4, 8$).
Количество возможных отрицательных значений для $y$: 2 (числа $-4, -1$).
Число благоприятных исходов $m_в$ равно произведению этих количеств: $m_в = 3 \times 2 = 6$.
Вероятность того, что выбранная точка лежит в четвёртой координатной четверти, равна:
$P_в = \frac{m_в}{N} = \frac{6}{25}$.
Ответ: $\frac{6}{25}$.

г) ниже прямой $y = x$
Точка $(x, y)$ лежит ниже прямой $y = x$, если её координаты удовлетворяют неравенству $y < x$. Найдём количество пар $(x,y)$, удовлетворяющих этому условию, перебирая возможные значения $x$ из множества $S$.
- если $x = -4$, то нет значений $y \in S$, которые меньше $-4$ (0 пар);
- если $x = -1$, то подходит $y = -4$ (1 пара);
- если $x = 1$, то подходят $y \in \{-4, -1\}$ (2 пары);
- если $x = 4$, то подходят $y \in \{-4, -1, 1\}$ (3 пары);
- если $x = 8$, то подходят $y \in \{-4, -1, 1, 4\}$ (4 пары).
Суммарное число благоприятных исходов $m_г$ равно: $m_г = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10$.
Вероятность того, что выбранная точка лежит ниже прямой $y = x$, равна:
$P_г = \frac{m_г}{N} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$.