Номер 50.11, страница 205, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§50. Статистическая обработка данных. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 50.11, страница 205.

50.11 Выполните задания, исходя из данных, приведённых перед задач 50.8:

а) Вычислите дисперсию и среднее квадратичное распределения отметок по литературе.

б) Вычислите дисперсию и среднее квадратичное распределения отметок по русскому языку.

в) По какому предмету отметки в среднем выше?

г) По какому предмету отметки имеют более устойчивый характер?

Для решения задачи воспользуемся данными об отметках, приведёнными перед задачей 50.8 (данные об успеваемости ученика 9 класса):

• Отметки по литературе: 4, 4, 3, 5.
• Отметки по русскому языку: 3, 4, 4, 5, 4, 3, 4.

а) Вычислите дисперсию и среднее квадратичное распределения отметок по литературе.

Имеем ряд отметок по литературе: 4, 4, 3, 5. Общее количество отметок $n = 4$.

1. Найдем среднее арифметическое (математическое ожидание) ряда отметок:
$\bar{x}_{лит} = \frac{4 + 4 + 3 + 5}{4} = \frac{16}{4} = 4$.

2. Вычислим дисперсию $D$. Дисперсия — это среднее арифметическое квадратов отклонений значений от их среднего.
Формула дисперсии: $D = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$.
Отклонения от среднего: $(4-4)$, $(4-4)$, $(3-4)$, $(5-4)$, то есть 0, 0, -1, 1.
Квадраты отклонений: $0^2=0$, $0^2=0$, $(-1)^2=1$, $1^2=1$.
Сумма квадратов отклонений: $0 + 0 + 1 + 1 = 2$.
Дисперсия: $D_{лит} = \frac{2}{4} = 0.5$.

3. Вычислим среднее квадратичное отклонение $\sigma$ (в задаче названо "среднее квадратичное распределения"), которое равно квадратному корню из дисперсии:
$\sigma_{лит} = \sqrt{D_{лит}} = \sqrt{0.5} \approx 0.707$.

Ответ: дисперсия равна 0.5, среднее квадратичное отклонение приблизительно равно 0.707.

б) Вычислите дисперсию и среднее квадратичное распределения отметок по русскому языку.

Имеем ряд отметок по русскому языку: 3, 4, 4, 5, 4, 3, 4. Общее количество отметок $n = 7$.

1. Найдем среднее арифметическое ряда отметок:
$\bar{x}_{рус} = \frac{3 + 4 + 4 + 5 + 4 + 3 + 4}{7} = \frac{27}{7}$.

2. Вычислим дисперсию $D_{рус}$.
Найдем сумму квадратов отклонений от среднего ($\bar{x}_{рус} = \frac{27}{7}$):
$\sum(x_i - \bar{x})^2 = 2 \cdot (3 - \frac{27}{7})^2 + 4 \cdot (4 - \frac{27}{7})^2 + 1 \cdot (5 - \frac{27}{7})^2$
$= 2 \cdot (-\frac{6}{7})^2 + 4 \cdot (\frac{1}{7})^2 + 1 \cdot (\frac{8}{7})^2$
$= 2 \cdot \frac{36}{49} + 4 \cdot \frac{1}{49} + \frac{64}{49} = \frac{72 + 4 + 64}{49} = \frac{140}{49} = \frac{20}{7}$.
Теперь вычислим дисперсию по формуле $D = \frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n}$:
$D_{рус} = \frac{20/7}{7} = \frac{20}{49}$.

3. Вычислим среднее квадратичное отклонение $\sigma_{рус}$:
$\sigma_{рус} = \sqrt{D_{рус}} = \sqrt{\frac{20}{49}} = \frac{\sqrt{20}}{7} = \frac{2\sqrt{5}}{7} \approx 0.639$.

Ответ: дисперсия равна $\frac{20}{49}$, среднее квадратичное отклонение приблизительно равно 0.639.

в) По какому предмету отметки в среднем выше?

Для ответа на этот вопрос сравним средние арифметические отметок по двум предметам.
Средняя отметка по литературе: $\bar{x}_{лит} = 4$.
Средняя отметка по русскому языку: $\bar{x}_{рус} = \frac{27}{7} \approx 3.857$.
Сравним значения: $4 > \frac{27}{7}$, так как $4 = \frac{28}{7}$.
Следовательно, средняя отметка по литературе выше.

Ответ: по литературе.

г) По какому предмету отметки имеют более устойчивый характер?

Устойчивость (или стабильность) ряда данных характеризуется мерой разброса. Чем меньше разброс (дисперсия или среднее квадратичное отклонение), тем более устойчивым является ряд.
Сравним дисперсии отметок по двум предметам:
Дисперсия по литературе: $D_{лит} = 0.5 = \frac{1}{2}$.
Дисперсия по русскому языку: $D_{рус} = \frac{20}{49}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 98, чтобы их сравнить: $D_{лит} = \frac{1}{2} = \frac{49}{98}$, а $D_{рус} = \frac{20}{49} = \frac{40}{98}$.
Так как $\frac{40}{98} < \frac{49}{98}$, то $D_{рус} < D_{лит}$.
Это означает, что разброс отметок по русскому языку меньше, следовательно, они имеют более устойчивый характер.

Ответ: по русскому языку.