Номер 51.3, страница 205, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§51. Простейшие вероятностные задачи. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 51.3, страница 205.

51.3 В круге радиусом $\sqrt{3}$ с центром в начале координат отмечены все точки, абсциссы и ординаты которых являются целыми числами.

Из отмеченных точек случайным образом выбирают одну. Найдите вероятность того, что:

а) она лежит на оси ординат;

б) она лежит не на координатных осях;

в) она лежит в круге радиуса 1 с центром в начале координат;

г) её абсцисса и ордината отличаются более чем на 2.

Сначала определим множество всех точек с целочисленными координатами, которые находятся в круге радиусом $R = \sqrt{3}$ с центром в начале координат. Уравнение границы круга: $x^2 + y^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$. Точки внутри и на границе круга удовлетворяют неравенству $x^2 + y^2 \le 3$.

Так как координаты $x$ и $y$ — целые числа, то $x^2$ и $y^2$ — неотрицательные целые числа. Из неравенства $x^2 \le 3$ и $y^2 \le 3$ следует, что возможные значения для $x$ и $y$ — это $-1, 0, 1$ (поскольку $2^2=4 > 3$ и $(-2)^2=4 > 3$).

Переберём все возможные комбинации целочисленных координат $(x, y)$, где $x, y \in \{-1, 0, 1\}$:

Если $x = -1$, то $(-1)^2 + y^2 \le 3 \implies 1 + y^2 \le 3 \implies y^2 \le 2$. Возможные целые $y$: $-1, 0, 1$. Точки: $(-1, -1), (-1, 0), (-1, 1)$.

Если $x = 0$, то $0^2 + y^2 \le 3 \implies y^2 \le 3$. Возможные целые $y$: $-1, 0, 1$. Точки: $(0, -1), (0, 0), (0, 1)$.

Если $x = 1$, то $1^2 + y^2 \le 3 \implies 1 + y^2 \le 3 \implies y^2 \le 2$. Возможные целые $y$: $-1, 0, 1$. Точки: $(1, -1), (1, 0), (1, 1)$.

Таким образом, всего существует 9 таких точек. Это множество всех возможных исходов $S$:$S = \{(-1, -1), (-1, 0), (-1, 1), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (1, -1), (1, 0), (1, 1)\}$.Общее число отмеченных точек (элементарных исходов) $N = 9$.Вероятность события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

а) она лежит на оси ординат

Точка лежит на оси ординат (оси OY), если её абсцисса $x$ равна нулю. Из нашего множества точек $S$ выберем те, у которых $x = 0$.

Это точки: $(0, -1)$, $(0, 0)$, $(0, 1)$.

Количество таких точек (благоприятных исходов) $k_a = 3$.

Вероятность $P(a)$ того, что случайно выбранная точка лежит на оси ординат, равна:

$P(a) = \frac{k_a}{N} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

б) она лежит не на координатных осях

Точка лежит на координатных осях, если её абсцисса $x=0$ или её ордината $y=0$. Точки из множества $S$, лежащие на осях: $(-1, 0)$, $(1, 0)$ (на оси OX) и $(0, -1)$, $(0, 1)$ (на оси OY), а также точка $(0,0)$, лежащая на обеих осях. Всего 5 точек лежат на координатных осях.

Событие "точка лежит не на координатных осях" означает, что нужно найти точки, у которых и $x \neq 0$, и $y \neq 0$.

Количество таких точек (благоприятных исходов) $k_б$ равно общему числу точек минус число точек на осях: $k_б = 9 - 5 = 4$.

Эти точки: $(-1, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, -1)$, $(1, 1)$.

Вероятность $P(б)$ равна:

$P(б) = \frac{k_б}{N} = \frac{4}{9}$

Ответ: $\frac{4}{9}$

в) она лежит в круге радиуса 1 с центром в начале координат

Это событие означает, что координаты выбранной точки $(x, y)$ должны удовлетворять неравенству $x^2 + y^2 \le 1^2$, то есть $x^2 + y^2 \le 1$. Проверим все точки из множества $S$ на соответствие этому условию.

Подходят точки:

$(0, 0)$, так как $0^2 + 0^2 = 0 \le 1$.

$(-1, 0)$, так как $(-1)^2 + 0^2 = 1 \le 1$.

$(1, 0)$, так как $1^2 + 0^2 = 1 \le 1$.

$(0, -1)$, так как $0^2 + (-1)^2 = 1 \le 1$.

$(0, 1)$, так как $0^2 + 1^2 = 1 \le 1$.

Остальные точки не подходят, например, для точки $(1, 1)$ имеем $1^2 + 1^2 = 2 > 1$.

Количество точек, удовлетворяющих условию (благоприятных исходов), $k_в = 5$.

Вероятность $P(в)$ равна:

$P(в) = \frac{k_в}{N} = \frac{5}{9}$

Ответ: $\frac{5}{9}$

г) её абсцисса и ордината отличаются более чем на 2

Это событие означает, что для координат выбранной точки $(x, y)$ должно выполняться условие $|x - y| > 2$.

Наше множество точек $S$ состоит из пар $(x, y)$, где $x, y \in \{-1, 0, 1\}$.

Максимальное возможное значение разности $|x - y|$ достигается, когда одна координата максимальна (равна 1), а другая минимальна (равна -1). В этом случае $|1 - (-1)| = 2$. Во всех остальных случаях разность будет меньше 2.

Таким образом, для любой точки из нашего множества $S$ выполняется неравенство $|x - y| \le 2$.

Следовательно, нет ни одной точки, для которой $|x - y| > 2$. Количество благоприятных исходов $k_г = 0$.

Вероятность $P(г)$ равна:

$P(г) = \frac{k_г}{N} = \frac{0}{9} = 0$

Ответ: $0$