Номер 52.1, страница 207, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§52. Сочетания и размещения. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 52.1, страница 207.

52.1 Двузначное число составляют из цифр 0, 1, 3, 4, 5, 6, 9 (повторения цифр допустимы).

а) Сколько всего можно составить чисел?

б) Сколько всего можно составить чисел, больших 50?

в) Сколько всего можно составить нечётных чисел?

г) Сколько всего можно составить нечётных чисел, меньших 55?

Дано множество цифр $S = \{0, 1, 3, 4, 5, 6, 9\}$. Всего в множестве 7 цифр. Мы составляем двузначные числа, в которых повторение цифр допустимо. Двузначное число состоит из двух позиций: десятки и единицы.

а) Сколько всего можно составить чисел?

Для составления двузначного числа нужно выбрать цифру для разряда десятков и цифру для разряда единиц.
На место первой цифры (десятки) можно поставить любую цифру из данного множества, кроме нуля, так как число должно быть двузначным. Следовательно, у нас есть 6 вариантов для первой цифры: $\{1, 3, 4, 5, 6, 9\}$.
На место второй цифры (единицы) можно поставить любую из 7 данных цифр, так как повторения разрешены. Варианты для второй цифры: $\{0, 1, 3, 4, 5, 6, 9\}$.
По правилу произведения в комбинаторике, общее количество возможных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции:
$N_{\text{всего}} = 6 \times 7 = 42$.
Ответ: 42

б) Сколько всего можно составить чисел, больших 50?

Чтобы двузначное число было больше 50, его первая цифра (десятки) должна быть 5, 6 или 9. Рассмотрим эти случаи:
1. Первая цифра — 5. Чтобы число было больше 50, вторая цифра (единицы) должна быть больше 0. Из нашего множества подходят цифры $\{1, 3, 4, 5, 6, 9\}$. Всего 6 таких чисел.
2. Первая цифра — 6. Любое число, начинающееся с 6, будет больше 50. Вторая цифра может быть любой из 7 данных цифр. Всего 7 таких чисел.
3. Первая цифра — 9. Аналогично, любое число, начинающееся с 9, будет больше 50. Вторая цифра может быть любой из 7 данных цифр. Всего 7 таких чисел.
Суммируем количество чисел из всех случаев:
$N_{>50} = 6 + 7 + 7 = 20$.
Ответ: 20

в) Сколько всего можно составить нечётных чисел?

Число является нечётным, если его последняя цифра (единицы) нечётная.
Из данного множества $S$ нечётными являются цифры $\{1, 3, 5, 9\}$. Таким образом, для разряда единиц есть 4 варианта.
Для разряда десятков по-прежнему можно использовать любую цифру, кроме 0. То есть 6 вариантов: $\{1, 3, 4, 5, 6, 9\}$.
Общее количество нечётных двузначных чисел находим по правилу произведения:
$N_{\text{нечёт}} = 6 \times 4 = 24$.
Ответ: 24

г) Сколько всего можно составить нечётных чисел, меньших 55?

Мы ищем числа, которые одновременно нечётные и меньше 55. Это накладывает ограничения на обе цифры.
Рассмотрим возможные варианты для первой цифры (десятки):
1. Первая цифра принадлежит множеству $\{1, 3, 4\}$. Таких вариантов 3. Любое число, начинающееся с этих цифр, будет меньше 55. Вторая цифра должна быть нечётной. Как мы выяснили в пункте в), у нас 4 варианта для нечётной цифры: $\{1, 3, 5, 9\}$.
Количество таких чисел: $3 \times 4 = 12$.
2. Первая цифра — 5. Чтобы число было меньше 55, вторая цифра должна быть меньше 5. При этом число должно быть нечётным. Из доступных нечётных цифр $\{1, 3, 5, 9\}$ условию "меньше 5" удовлетворяют только $\{1, 3\}$. Значит, у нас есть 2 варианта (числа 51 и 53).
Чтобы найти общее количество, сложим результаты из обоих случаев:
$N_{<55, \text{нечёт}} = 12 + 2 = 14$.
Ответ: 14