Номер 52.8, страница 209, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§52. Сочетания и размещения. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 52.8, страница 209.

Вычислите:

52.8 a) $C_{17}^2$ и $A_{17}^2$;

б) $C_{100}^2$ и $A_{100}^2$;

в) $C_5^3$ и $A_5^3$;

г) $C_8^4$ и $A_8^4$.

Для решения задачи используются формула числа сочетаний (количество способов выбрать k элементов из n без учета порядка) и формула числа размещений (количество способов выбрать k элементов из n с учетом порядка).
Формула числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Формула числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

а) Вычислим $C_{17}^2$ и $A_{17}^2$.
$C_{17}^2 = \frac{17!}{2!(17-2)!} = \frac{17!}{2! \cdot 15!} = \frac{16 \cdot 17}{2 \cdot 1} = 8 \cdot 17 = 136$.
$A_{17}^2 = \frac{17!}{(17-2)!} = \frac{17!}{15!} = 16 \cdot 17 = 272$.
Ответ: $C_{17}^2 = 136$; $A_{17}^2 = 272$.

б) Вычислим $C_{100}^2$ и $A_{100}^2$.
$C_{100}^2 = \frac{100!}{2!(100-2)!} = \frac{100!}{2! \cdot 98!} = \frac{99 \cdot 100}{2 \cdot 1} = 99 \cdot 50 = 4950$.
$A_{100}^2 = \frac{100!}{(100-2)!} = \frac{100!}{98!} = 99 \cdot 100 = 9900$.
Ответ: $C_{100}^2 = 4950$; $A_{100}^2 = 9900$.

в) Вычислим $C_{5}^3$ и $A_{5}^3$.
$C_{5}^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 10$.
$A_{5}^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$.
Ответ: $C_{5}^3 = 10$; $A_{5}^3 = 60$.

г) Вычислим $C_{8}^4$ и $A_{8}^4$.
$C_{8}^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4! \cdot 4!} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1680}{24} = 70$.
$A_{8}^4 = \frac{8!}{(8-4)!} = \frac{8!}{4!} = 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 = 1680$.
Ответ: $C_{8}^4 = 70$; $A_{8}^4 = 1680$.