Номер 52.15, страница 210, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§52. Сочетания и размещения. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 52.15, страница 210.

52.15 Три клавиши из семи клавиш, соответствующих нотам до, ре, ми, фа, соль, ля, си одной октавы, можно нажать либо одновременно (аккорд), либо поочерёдно (трезвучие).

а) Найдите число всех возможных трезвучий.

б) Найдите число всех возможных аккордов.

в) Найдите число всех возможных аккордов, содержащих ноту соль.

г) Найдите число всех возможных аккордов, в которых нет подряд идущих нот.

а) Трезвучие — это последовательное нажатие трех клавиш из семи. Поскольку порядок нажатия клавиш важен, а ноты не повторяются, мы имеем дело с размещениями без повторений. Нам нужно найти число размещений из 7 элементов по 3. Это можно вычислить по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. В данном случае $n=7$ и $k=3$, поэтому число трезвучий равно $A_7^3 = \frac{7!}{(7-3)!} = \frac{7!}{4!} = 7 \times 6 \times 5 = 210$.

Ответ: 210

б) Аккорд — это одновременное нажатие трех клавиш, поэтому порядок нот в нем не важен. Нам нужно выбрать 3 ноты из 7. Это задача на нахождение числа сочетаний из 7 элементов по 3. Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. При $n=7$ и $k=3$ получаем $C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$.

Ответ: 35

в) Мы ищем аккорды, содержащие ноту "соль". Это значит, что одна из трех нот в аккорде уже выбрана. Нам остается выбрать еще $3 - 1 = 2$ ноты из оставшихся $7 - 1 = 6$ нот. Так как это аккорд, порядок выбора не имеет значения, поэтому мы снова используем сочетания. Число способов выбрать 2 ноты из 6 равно $C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.

Ответ: 15

г) Нам нужно найти число аккордов (сочетаний) из 3 нот, в которых нет подряд идущих нот. Семь нот (до, ре, ми, фа, соль, ля, си) можно представить как числа от 1 до 7. Задача сводится к тому, чтобы выбрать 3 числа из этого набора так, чтобы никакие два из них не были соседними. Количество таких выборов $k$ элементов из $n$ можно найти по формуле $C_{n-k+1}^k$. В нашем случае $n=7$ и $k=3$. Подставляя значения в формулу, получаем: $C_{7-3+1}^3 = C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.

Ответ: 10