Номер 52.17, страница 210, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§52. Сочетания и размещения. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 52.17, страница 210.

52.17 За четверть в классе прошли 5 тем по алгебре. Для подготовки к контрольной работе составлено по 10 задач к каждой теме. На контрольной будет по одной задаче из каждой темы. Ученик умеет решать только по 8 задач в каждой теме. Найдите:

а) общее число всех вариантов контрольной работы;

б) число тех вариантов, в которых ученик умеет решать все пять задач;

в) число тех вариантов, в которых ученик ничего не может решить;

г) число тех вариантов, в которых ученик умеет решать все задачи, кроме первой.

Для решения этой задачи воспользуемся правилом умножения в комбинаторике, так как выбор задачи по каждой из 5 тем является независимым событием.

а) общее число всех вариантов контрольной работы;

Контрольная работа состоит из 5 задач, по одной из каждой темы. По каждой теме составлено 10 задач. Следовательно, для выбора задачи по первой теме есть 10 вариантов, по второй — 10, и так далее. Общее число всех возможных вариантов контрольной работы равно произведению числа вариантов для каждой задачи:

$N_{общ} = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^5 = 100000$

Ответ: 100000 вариантов.

б) число тех вариантов, в которых ученик умеет решать все пять задач;

Ученик умеет решать 8 из 10 задач в каждой теме. Чтобы вариант контрольной был полностью решаемым для ученика, задача по каждой из 5 тем должна быть выбрана из числа этих 8 задач. Таким образом, для каждой темы есть 8 "успешных" вариантов выбора.

Число таких вариантов равно:

$N_{решает\_все} = 8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 = 8^5 = 32768$

Ответ: 32768 вариантов.

в) число тех вариантов, в которых ученик ничего не может решить;

В каждой теме ученик не умеет решать $10 - 8 = 2$ задачи. Чтобы ученик не мог решить ни одной задачи, необходимо, чтобы каждая из 5 задач контрольной была выбрана именно из этих двух "нерешаемых" задач для каждой темы.

Число таких вариантов равно:

$N_{не\_решает} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5 = 32$

Ответ: 32 варианта.

г) число тех вариантов, в которых ученик умеет решать все задачи, кроме первой.

Для такого варианта необходимо, чтобы первая задача была из тех, которые ученик решать не умеет (2 варианта выбора), а остальные четыре задачи — из тех, которые он решать умеет (по 8 вариантов выбора для каждой из четырех тем).

Число таких вариантов рассчитывается как произведение:

$N_{кроме\_первой} = 2 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 = 2 \times 8^4 = 2 \times 4096 = 8192$

Ответ: 8192 варианта.