Номер 53.4, страница 211, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§53. Формула бинома Ньютона. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 53.4, страница 211.

53.4 Найдите член разложения, не содержащий переменных:

a) $(2x^2 + \frac{1}{x})^6$; б) $(3\sqrt[4]{a} + \frac{1}{\sqrt{a}})^9$.

a) Для нахождения члена разложения, не содержащего переменных, в выражении $(2x^2 + \frac{1}{x})^6$ воспользуемся формулой общего члена разложения бинома Ньютона:

$T_{k+1} = C_n^k A^{n-k} B^k$

где $A$ и $B$ — слагаемые в биноме, $n$ — степень бинома, а $k$ — номер члена (начиная с 0). В данном случае $A = 2x^2$, $B = \frac{1}{x} = x^{-1}$, и $n=6$.

Подставим эти значения в формулу общего члена:

$T_{k+1} = C_6^k (2x^2)^{6-k} (x^{-1})^k$

Раскроем скобки и сгруппируем степени переменной $x$:

$T_{k+1} = C_6^k \cdot 2^{6-k} \cdot (x^2)^{6-k} \cdot x^{-k} = C_6^k \cdot 2^{6-k} \cdot x^{2(6-k)} \cdot x^{-k} = C_6^k \cdot 2^{6-k} \cdot x^{12-2k-k} = C_6^k \cdot 2^{6-k} \cdot x^{12-3k}$

Член разложения не содержит переменную $x$, если показатель степени при $x$ равен нулю. Составим и решим уравнение:

$12 - 3k = 0$

$3k = 12$

$k = 4$

Поскольку $k$ должно быть целым числом в диапазоне от 0 до $n=6$, значение $k=4$ является допустимым. Искомый член является $(k+1)$-м, то есть пятым членом разложения.

Теперь вычислим значение этого члена, подставив $k=4$ в его формулу:

$T_{4+1} = T_5 = C_6^4 \cdot 2^{6-4} \cdot x^{12-3 \cdot 4} = C_6^4 \cdot 2^2 \cdot x^0 = 4 \cdot C_6^4$

Вычислим биномиальный коэффициент $C_6^4$:

$C_6^4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$

Следовательно, искомый член равен:

$T_5 = 4 \cdot 15 = 60$

Ответ: 60

б) Для нахождения члена разложения, не содержащего переменных, в выражении $(3\sqrt[4]{a} + \frac{1}{\sqrt{a}})^9$ также используем формулу общего члена бинома Ньютона.

Сначала представим слагаемые в виде степеней переменной $a$:

$A = 3\sqrt[4]{a} = 3a^{1/4}$

$B = \frac{1}{\sqrt{a}} = a^{-1/2}$

Степень бинома $n=9$.

Общий член разложения $T_{k+1}$ имеет вид:

$T_{k+1} = C_9^k (3a^{1/4})^{9-k} (a^{-1/2})^k$

Упростим выражение, сгруппировав степени переменной $a$:

$T_{k+1} = C_9^k \cdot 3^{9-k} \cdot (a^{1/4})^{9-k} \cdot a^{-k/2} = C_9^k \cdot 3^{9-k} \cdot a^{\frac{9-k}{4}} \cdot a^{-\frac{k}{2}} = C_9^k \cdot 3^{9-k} \cdot a^{\frac{9-k}{4} - \frac{k}{2}}$

Чтобы член не содержал переменную $a$, показатель степени при $a$ должен быть равен нулю:

$\frac{9-k}{4} - \frac{k}{2} = 0$

Для решения уравнения умножим обе его части на 4:

$(9-k) - 2k = 0$

$9 - 3k = 0$

$3k = 9$

$k = 3$

Значение $k=3$ является допустимым ($0 \le 3 \le 9$). Искомый член является $(k+1)$-м, то есть четвертым членом разложения.

Вычислим значение этого члена, подставив $k=3$ в его формулу:

$T_{3+1} = T_4 = C_9^3 \cdot 3^{9-3} \cdot a^0 = C_9^3 \cdot 3^6$

Вычислим биномиальный коэффициент $C_9^3$:

$C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3! \cdot 6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84$

Вычислим $3^6$:

$3^6 = 729$

Таким образом, искомый член равен:

$T_4 = 84 \cdot 729 = 61236$

Ответ: 61236