Номер 54.2, страница 212, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§54. Случайные события и их вероятности. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 54.2, страница 212.

54.2 Из колоды в 36 карт одновременно выбирают две карты. Найдите вероятность того, что:

a) обе карты чёрной масти;

б) обе карты пиковой масти;

в) обе карты крестовой масти;

г) одна из карт пиковой масти, а другая — крестовой.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P(A) = \frac{m}{N}$, где $N$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию A.

В колоде 36 карт. Одновременно выбираются 2 карты. Общее число способов выбрать 2 карты из 36 равно числу сочетаний из 36 по 2:

$N = C_{36}^2 = \frac{36!}{2!(36-2)!} = \frac{36 \cdot 35}{2 \cdot 1} = 18 \cdot 35 = 630$.

Таким образом, общее число элементарных исходов равно 630.

В стандартной колоде из 36 карт 4 масти, по 9 карт каждой масти. Масти пики и крести являются чёрными. Следовательно, в колоде $9 + 9 = 18$ чёрных карт.

а) обе карты чёрной масти;

Пусть событие А заключается в том, что обе выбранные карты — чёрной масти. В колоде 18 чёрных карт. Число способов выбрать 2 чёрные карты из 18 имеющихся равно числу сочетаний из 18 по 2:

$m_а = C_{18}^2 = \frac{18!}{2!(18-2)!} = \frac{18 \cdot 17}{2 \cdot 1} = 9 \cdot 17 = 153$.

Это число благоприятствующих исходов. Вероятность события А равна:

$P(A) = \frac{m_а}{N} = \frac{153}{630} = \frac{17 \cdot 9}{70 \cdot 9} = \frac{17}{70}$.

Ответ: $\frac{17}{70}$.

б) обе карты пиковой масти;

Пусть событие Б заключается в том, что обе выбранные карты — пиковой масти. В колоде 9 карт пиковой масти. Число способов выбрать 2 пиковые карты из 9 равно:

$m_б = C_{9}^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 36$.

Вероятность события Б равна:

$P(Б) = \frac{m_б}{N} = \frac{36}{630} = \frac{2 \cdot 18}{35 \cdot 18} = \frac{2}{35}$.

Ответ: $\frac{2}{35}$.

в) обе карты крестовой масти;

Пусть событие В заключается в том, что обе выбранные карты — крестовой масти. В колоде 9 карт крестовой масти. Расчет аналогичен пункту б). Число способов выбрать 2 крестовые карты из 9 равно:

$m_в = C_{9}^2 = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36$.

Вероятность события В равна:

$P(В) = \frac{m_в}{N} = \frac{36}{630} = \frac{2}{35}$.

Ответ: $\frac{2}{35}$.

г) одна из карт пиковой масти, а другая — крестовой.

Пусть событие Г заключается в том, что одна карта пиковой масти, а другая — крестовой. В колоде 9 пиковых карт и 9 крестовых карт.

Число способов выбрать 1 пиковую карту из 9 равно $C_9^1 = 9$.

Число способов выбрать 1 крестовую карту из 9 также равно $C_9^1 = 9$.

По правилу произведения в комбинаторике, общее число способов выбрать одну пиковую и одну крестовую карту равно:

$m_г = C_9^1 \cdot C_9^1 = 9 \cdot 9 = 81$.

Вероятность события Г равна:

$P(Г) = \frac{m_г}{N} = \frac{81}{630} = \frac{9 \cdot 9}{70 \cdot 9} = \frac{9}{70}$.

Ответ: $\frac{9}{70}$.