Номер 54.5, страница 213, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§54. Случайные события и их вероятности. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 54.5, страница 213.

54.5 В классе 22 красивых ученика, а умных — 18. Всего в классе 30 учеников, и каждый из них умный или красивый. Какова вероятность того, что случайно вызванный по списку класса ученик:

а) и умный, и красивый;

б) умный, но не красивый;

в) красивый, но не умный?

Измените в условии общее количество учеников так, чтобы ответы в пунктах а) и в) были одинаковыми.

Для решения задачи введем обозначения: $К$ — множество красивых учеников, $У$ — множество умных учеников. По условию, в классе 22 красивых ученика, то есть $N(К) = 22$, и 18 умных, то есть $N(У) = 18$. Всего в классе 30 учеников, и каждый из них либо умный, либо красивый. Это означает, что объединение этих множеств равно всему классу: $N(К \cup У) = 30$.

Для нахождения количества учеников, которые являются и умными, и красивыми ($N(К \cap У)$), воспользуемся формулой включений-исключений:

$N(К \cup У) = N(К) + N(У) - N(К \cap У)$

Подставим известные значения:

$30 = 22 + 18 - N(К \cap У)$

$30 = 40 - N(К \cap У)$

$N(К \cap У) = 40 - 30 = 10$

Итак, в классе 10 учеников, которые и умные, и красивые.

Теперь найдем количество учеников, которые умные, но не красивые ($N(У \setminus К)$) и которые красивые, но не умные ($N(К \setminus У)$):

Количество умных, но не красивых: $N(У \setminus К) = N(У) - N(К \cap У) = 18 - 10 = 8$.

Количество красивых, но не умных: $N(К \setminus У) = N(К) - N(К \cap У) = 22 - 10 = 12$.

Вероятность события вычисляется по классической формуле $P = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $n$ — общее число возможных исходов. В нашей задаче $n = 30$.

а) и умный, и красивый;

Число благоприятных исходов (ученик и умный, и красивый) $m = 10$.

Вероятность: $P = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

б) умный, но не красивый;

Число благоприятных исходов (ученик умный, но не красивый) $m = 8$.

Вероятность: $P = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$.

Ответ: $\frac{4}{15}$

в) красивый, но не умный?

Число благоприятных исходов (ученик красивый, но не умный) $m = 12$.

Вероятность: $P = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5}$

Измените в условии общее количество учеников так, чтобы ответы в пунктах а) и в) были одинаковыми.

Чтобы ответы в пунктах а) и в) были одинаковыми, вероятности этих событий должны быть равны. Пусть $N'$ — новое общее количество учеников. Тогда $\frac{N(К \cap У)}{N'} = \frac{N(К \setminus У)}{N'}$. Это равенство выполняется, если число учеников в обеих группах одинаково: $N(К \cap У) = N(К \setminus У)$.

Общее число красивых учеников $N(К)$ складывается из тех, кто красивый и умный, и тех, кто красивый, но не умный: $N(К) = N(К \cap У) + N(К \setminus У)$.

Учитывая, что $N(К \cap У) = N(К \setminus У)$, получаем: $N(К) = N(К \cap У) + N(К \cap У) = 2 \cdot N(К \cap У)$.

Подставим известное количество красивых учеников $N(К) = 22$:

$22 = 2 \cdot N(К \cap У)$

$N(К \cap У) = 11$.

Значит, и умных и красивых учеников должно быть 11, и красивых, но не умных, тоже 11.

Теперь найдем количество умных, но не красивых, учеников. Их общее число $N(У) = 18$ не изменилось:

$N(У \setminus К) = N(У) - N(К \cap У) = 18 - 11 = 7$.

Новое общее количество учеников $N'$ равно сумме учеников во всех трех непересекающихся группах:

$N' = N(К \cap У) + N(К \setminus У) + N(У \setminus К) = 11 + 11 + 7 = 29$.

Проверим: если в классе 29 учеников, то число тех, кто и умный и красивый, будет $22+18-29=11$, а число красивых, но не умных, будет $22-11=11$. Числа равны, значит и вероятности будут равны ($\frac{11}{29}$).

Ответ: 29 учеников.