Номер 53.7, страница 212, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§53. Формула бинома Ньютона. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 53.7, страница 212.

53.7 Докажите, что для любого натурального числа $n > 1$ и любого положительного числа $x$ справедливо неравенство $(1 + x)^n > 1 + nx$.

Для доказательства данного неравенства, известного как неравенство Бернулли, воспользуемся методом математической индукции по $n$. Требуется доказать, что для любого натурального числа $n > 1$ (то есть $n \ge 2$) и любого положительного числа $x > 0$ справедливо неравенство:$(1 + x)^n > 1 + nx$

Сначала проверим базу индукции для наименьшего возможного значения $n$, а именно для $n=2$. Подставив $n=2$ в неравенство, получим:$(1 + x)^2 > 1 + 2x$Раскроем скобки в левой части выражения:$1 + 2x + x^2 > 1 + 2x$Вычтем из обеих частей неравенства $1 + 2x$:$x^2 > 0$Поскольку по условию $x$ является положительным числом ($x > 0$), его квадрат $x^2$ также будет строго больше нуля. Таким образом, для $n=2$ неравенство верно.

Далее, сделаем индукционное предположение. Предположим, что неравенство справедливо для некоторого натурального числа $k \ge 2$:$(1 + x)^k > 1 + kx$

Теперь выполним индукционный переход. Нам нужно доказать, что из справедливости неравенства для $n=k$ следует его справедливость для $n=k+1$. То есть, докажем, что:$(1 + x)^{k+1} > 1 + (k+1)x$

Преобразуем левую часть этого неравенства:$(1 + x)^{k+1} = (1 + x)^k \cdot (1 + x)$

Согласно индукционному предположению, мы знаем, что $(1 + x)^k > 1 + kx$. Так как по условию $x > 0$, то и $(1+x) > 1$, то есть $(1+x)$ является положительным числом. Умножим обе части неравенства в индукционном предположении на $(1+x)$, при этом знак неравенства не изменится:$(1 + x)^k \cdot (1 + x) > (1 + kx) \cdot (1 + x)$

Следовательно, мы имеем:$(1 + x)^{k+1} > (1 + kx)(1 + x)$

Раскроем скобки в правой части:$(1 + kx)(1 + x) = 1 + x + kx + kx^2 = 1 + (k+1)x + kx^2$

Таким образом, мы установили, что:$(1 + x)^{k+1} > 1 + (k+1)x + kx^2$

Теперь сравним правую часть полученного неравенства с выражением $1 + (k+1)x$. Поскольку $k$ является натуральным числом ($k \ge 2$) и $x$ — положительное число ($x > 0$), то слагаемое $kx^2$ будет строго положительным: $kx^2 > 0$.Следовательно, справедливо неравенство:$1 + (k+1)x + kx^2 > 1 + (k+1)x$

Используя свойство транзитивности для неравенств, из того, что $(1 + x)^{k+1} > 1 + (k+1)x + kx^2$ и $1 + (k+1)x + kx^2 > 1 + (k+1)x$, следует, что:$(1 + x)^{k+1} > 1 + (k+1)x$

Индукционный переход доказан. Так как база индукции верна и индукционный переход доказан, по принципу математической индукции мы заключаем, что исходное неравенство справедливо для всех натуральных чисел $n > 1$ и всех положительных чисел $x$.

Ответ: Утверждение доказано.