Номер 54.3, страница 212, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§54. Случайные события и их вероятности. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 54.3, страница 212.

54.3 В тёмном ящике — 9 билетов, разложенных по одному в одинаковые конверты. Из них 5 выигрышных билетов и 4 проигрышных. Вы наудачу вытаскиваете 3 конверта. Найдите вероятность того, что:

а) все билеты выигрышные;

б) есть ровно один проигрышный билет;

в) есть ровно один выигрышный билет;

г) есть хотя бы один выигрышный билет.

Для решения задачи используется классическое определение вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ – общее число равновозможных исходов, а $m$ – число исходов, благоприятствующих событию.

В ящике находится 9 билетов. Мы вытаскиваем 3 билета. Общее число способов выбрать 3 билета из 9 равно числу сочетаний из 9 по 3:

$n = C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84$.

Таким образом, общее число исходов $n = 84$.

а) все билеты выигрышные;

Для наступления этого события необходимо, чтобы все 3 извлеченных билета были из 5 выигрышных. Число способов выбрать 3 выигрышных билета из 5 равно:

$m_a = C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.

Вероятность этого события:

$P(a) = \frac{m_a}{n} = \frac{10}{84} = \frac{5}{42}$.

Ответ: $\frac{5}{42}$

б) есть ровно один проигрышный билет;

Это означает, что из 3 билетов 1 должен быть проигрышным, а 2 – выигрышными. Число способов выбрать 1 проигрышный билет из 4 равно $C_4^1$. Число способов выбрать 2 выигрышных билета из 5 равно $C_5^2$. Общее число благоприятных исходов по правилу произведения:

$m_b = C_4^1 \cdot C_5^2 = 4 \cdot \frac{5!}{2!(5-2)!} = 4 \cdot 10 = 40$.

Вероятность этого события:

$P(b) = \frac{m_b}{n} = \frac{40}{84} = \frac{10}{21}$.

Ответ: $\frac{10}{21}$

в) есть ровно один выигрышный билет;

Это означает, что из 3 билетов 1 должен быть выигрышным, а 2 – проигрышными. Число способов выбрать 1 выигрышный билет из 5 равно $C_5^1$. Число способов выбрать 2 проигрышных билета из 4 равно $C_4^2$. Общее число благоприятных исходов по правилу произведения:

$m_c = C_5^1 \cdot C_4^2 = 5 \cdot \frac{4!}{2!(4-2)!} = 5 \cdot \frac{4 \cdot 3}{2} = 5 \cdot 6 = 30$.

Вероятность этого события:

$P(c) = \frac{m_c}{n} = \frac{30}{84} = \frac{5}{14}$.

Ответ: $\frac{5}{14}$

г) есть хотя бы один выигрышный билет.

Событие "есть хотя бы один выигрышный билет" является противоположным событию "все 3 билета проигрышные". Проще найти вероятность противоположного события, а затем вычесть ее из единицы.

Найдем вероятность того, что все 3 извлеченных билета – проигрышные. Число способов выбрать 3 проигрышных билета из 4 равно:

$m_{прот} = C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4$.

Вероятность вытащить 3 проигрышных билета:

$P(прот) = \frac{m_{прот}}{n} = \frac{4}{84} = \frac{1}{21}$.

Тогда вероятность того, что будет хотя бы один выигрышный билет, равна:

$P(г) = 1 - P(прот) = 1 - \frac{1}{21} = \frac{20}{21}$.

Ответ: $\frac{20}{21}$