Номер 54.10, страница 214, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§54. Случайные события и их вероятности. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 54.10, страница 214.

54.10 Пусть вероятность «успеха» в одном испытании Бернулли равна 0,7. Пользуясь теоремой Бернулли, составьте формулы для следующих событий:

а) при трёх независимых повторениях испытания будет ровно 2 «успеха»;

$P_3(2) = C_3^2 \cdot (0,7)^2 \cdot (0,3)^1$

б) при четырёх независимых повторениях испытания будет ровно 2 «неудачи»;

$P_4(2) = C_4^2 \cdot (0,7)^2 \cdot (0,3)^2$

в) при пяти независимых повторениях испытания будет ровно 3 «успеха».

$P_5(3) = C_5^3 \cdot (0,7)^3 \cdot (0,3)^2$

Вычислите вероятности в а) — в).

Для решения задачи воспользуемся формулой Бернулли. Она позволяет найти вероятность того, что в серии из n независимых испытаний некоторое событие («успех»), вероятность которого в каждом испытании равна p, произойдет ровно k раз.

Формула Бернулли имеет вид: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где:

• n — общее число испытаний;
• k — число «успехов»;
• p — вероятность «успеха» в одном испытании;
• q — вероятность «неудачи» в одном испытании, $q = 1 - p$;
• $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент (число сочетаний из n по k).

По условию задачи, вероятность «успеха» $p = 0.7$. Тогда вероятность «неудачи» $q = 1 - 0.7 = 0.3$.

а) при трёх независимых повторениях испытания будет ровно 2 «успеха»

В этом случае имеем следующие параметры: n = 3 (общее число испытаний), k = 2 (число «успехов»), p = 0.7, q = 0.3.

Составим формулу для вероятности этого события:

$P_3(2) = C_3^2 \cdot (0.7)^2 \cdot (0.3)^{3-2}$

Теперь вычислим значение вероятности:

$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot 1} = 3$

$P_3(2) = 3 \cdot (0.7)^2 \cdot (0.3)^1 = 3 \cdot 0.49 \cdot 0.3 = 0.441$

Ответ: формула $P_3(2) = C_3^2 \cdot (0.7)^2 \cdot (0.3)^1$, вероятность равна 0.441.

б) при четырёх независимых повторениях испытания будет ровно 2 «неудачи»

Если при 4 испытаниях было 2 «неудачи», это означает, что было $4 - 2 = 2$ «успеха».Параметры для формулы Бернулли: n = 4 (общее число испытаний), k = 2 (число «успехов»), p = 0.7, q = 0.3.

Составим формулу для вероятности этого события:

$P_4(2) = C_4^2 \cdot (0.7)^2 \cdot (0.3)^{4-2}$

Вычислим значение вероятности:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$

$P_4(2) = 6 \cdot (0.7)^2 \cdot (0.3)^2 = 6 \cdot 0.49 \cdot 0.09 = 0.2646$

Ответ: формула $P_4(2) = C_4^2 \cdot (0.7)^2 \cdot (0.3)^2$, вероятность равна 0.2646.

в) при пяти независимых повторениях испытания будет ровно 3 «успеха»

В этом случае параметры следующие: n = 5 (общее число испытаний), k = 3 (число «успехов»), p = 0.7, q = 0.3.

Составим формулу для вероятности этого события:

$P_5(3) = C_5^3 \cdot (0.7)^3 \cdot (0.3)^{5-3}$

Вычислим значение вероятности:

$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$

$P_5(3) = 10 \cdot (0.7)^3 \cdot (0.3)^2 = 10 \cdot 0.343 \cdot 0.09 = 0.3087$

Ответ: формула $P_5(3) = C_5^3 \cdot (0.7)^3 \cdot (0.3)^2$, вероятность равна 0.3087.