Номер 54.17, страница 215, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§54. Случайные события и их вероятности. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 54.17, страница 215.

54.17 Из чисел 1, 2, 3, 4, 5 одновременно выбирают три. Найдите вероятность того, что:

а) существует прямоугольный треугольник с такими сторонами;

б) существует треугольник с такими сторонами;

в) их произведение оканчивается на ноль;

г) их сумма меньше 10.

Для решения задачи сначала определим общее число возможных исходов. Нам нужно выбрать 3 числа из 5 данных чисел {1, 2, 3, 4, 5}. Поскольку порядок выбора не важен, мы используем формулу для числа сочетаний:

$N = C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n=5$ (всего чисел), а $k=3$ (выбираем чисел).

$N = C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$

Таким образом, существует 10 различных способов выбрать три числа из пяти. Перечислим все возможные комбинации (исходы):

• {1, 2, 3}
• {1, 2, 4}
• {1, 2, 5}
• {1, 3, 4}
• {1, 3, 5}
• {1, 4, 5}
• {2, 3, 4}
• {2, 3, 5}
• {2, 4, 5}
• {3, 4, 5}

Теперь найдем вероятность для каждого из предложенных событий. Вероятность события $A$ вычисляется по формуле $P(A) = \frac{M}{N}$, где $M$ — число благоприятных исходов, а $N$ — общее число исходов.

а) существует прямоугольный треугольник с такими сторонами;

Для того чтобы из трех отрезков $a, b, c$ (где $c$ — наибольший) можно было составить прямоугольный треугольник, должно выполняться условие теоремы Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$. Проверим все 10 комбинаций:

• {1, 2, 3}: $1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5 \neq 3^2=9$
• {1, 2, 4}: $1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5 \neq 4^2=16$
• {1, 2, 5}: $1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5 \neq 5^2=25$
• {1, 3, 4}: $1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10 \neq 4^2=16$
• {1, 3, 5}: $1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10 \neq 5^2=25$
• {1, 4, 5}: $1^2 + 4^2 = 1 + 16 = 17 \neq 5^2=25$
• {2, 3, 4}: $2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 \neq 4^2=16$
• {2, 3, 5}: $2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 \neq 5^2=25$
• {2, 4, 5}: $2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20 \neq 5^2=25$
• {3, 4, 5}: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$. Это благоприятный исход.

Таким образом, существует только одна комбинация, удовлетворяющая условию. Число благоприятных исходов $M_a = 1$.

Вероятность равна: $P(a) = \frac{M_a}{N} = \frac{1}{10}$.

Ответ: $\frac{1}{10}$

б) существует треугольник с такими сторонами;

Для существования треугольника со сторонами $a, b, c$ (где $c$ — наибольшая сторона) должно выполняться неравенство треугольника: $a + b > c$. Проверим все комбинации:

• {1, 2, 3}: $1 + 2 = 3$. Не выполняется ($3 \ngtr 3$).
• {1, 2, 4}: $1 + 2 = 3 < 4$. Не выполняется.
• {1, 2, 5}: $1 + 2 = 3 < 5$. Не выполняется.
• {1, 3, 4}: $1 + 3 = 4$. Не выполняется ($4 \ngtr 4$).
• {1, 3, 5}: $1 + 3 = 4 < 5$. Не выполняется.
• {1, 4, 5}: $1 + 4 = 5$. Не выполняется ($5 \ngtr 5$).
• {2, 3, 4}: $2 + 3 = 5 > 4$. Выполняется.
• {2, 3, 5}: $2 + 3 = 5$. Не выполняется ($5 \ngtr 5$).
• {2, 4, 5}: $2 + 4 = 6 > 5$. Выполняется.
• {3, 4, 5}: $3 + 4 = 7 > 5$. Выполняется.

Существует 3 комбинации, из которых можно составить треугольник. Число благоприятных исходов $M_b = 3$.

Вероятность равна: $P(б) = \frac{M_b}{N} = \frac{3}{10}$.

Ответ: $\frac{3}{10}$

в) их произведение оканчивается на ноль;

Произведение целых чисел оканчивается на ноль, если оно делится на 10. Для этого в разложении произведения на простые множители должны присутствовать и 2, и 5. В нашем наборе чисел {1, 2, 3, 4, 5} множитель 5 дает только число 5, а множитель 2 дают числа 2 и 4. Таким образом, в выбранной тройке чисел должны быть число 5 и хотя бы одно четное число (2 или 4).

Найдем комбинации, содержащие 5 и хотя бы одно четное число:

• {1, 2, 5}: $1 \cdot 2 \cdot 5 = 10$. Оканчивается на 0.
• {1, 3, 5}: $1 \cdot 3 \cdot 5 = 15$.
• {1, 4, 5}: $1 \cdot 4 \cdot 5 = 20$. Оканчивается на 0.
• {2, 3, 5}: $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$. Оканчивается на 0.
• {2, 4, 5}: $2 \cdot 4 \cdot 5 = 40$. Оканчивается на 0.
• {3, 4, 5}: $3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$. Оканчивается на 0.

Остальные комбинации не содержат число 5, поэтому их произведение не может оканчиваться на 0.

Всего 5 благоприятных исходов. Число благоприятных исходов $M_в = 5$.

Вероятность равна: $P(в) = \frac{M_в}{N} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

г) их сумма меньше 10.

Проверим сумму чисел в каждой из 10 комбинаций:

• {1, 2, 3}: $1 + 2 + 3 = 6 < 10$. Подходит.
• {1, 2, 4}: $1 + 2 + 4 = 7 < 10$. Подходит.
• {1, 2, 5}: $1 + 2 + 5 = 8 < 10$. Подходит.
• {1, 3, 4}: $1 + 3 + 4 = 8 < 10$. Подходит.
• {1, 3, 5}: $1 + 3 + 5 = 9 < 10$. Подходит.
• {1, 4, 5}: $1 + 4 + 5 = 10$. Не подходит.
• {2, 3, 4}: $2 + 3 + 4 = 9 < 10$. Подходит.
• {2, 3, 5}: $2 + 3 + 5 = 10$. Не подходит.
• {2, 4, 5}: $2 + 4 + 5 = 11 > 10$. Не подходит.
• {3, 4, 5}: $3 + 4 + 5 = 12 > 10$. Не подходит.

Всего 6 комбинаций, удовлетворяющих условию. Число благоприятных исходов $M_г = 6$.

Вероятность равна: $P(г) = \frac{M_г}{N} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$