Номер 54.21, страница 216, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§54. Случайные события и их вероятности. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 54.21, страница 216.

54.21 Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень одного из них равна 0,5. Найти вероятность попадания в мишень другого стрелка, если известно, что:

а) вероятность того, что мишень будет поражена дважды, равна 0,4;

б) вероятность того, что мишень не будет поражена ни разу, равна 0,45;

в) вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы один раз, равна 0,8;

г) вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы один раз, равна 0,999.

Пусть $p_1$ — вероятность попадания в мишень первого стрелка, а $p_2$ — вероятность попадания второго стрелка. По условию, вероятность попадания одного из них равна 0,5. Пусть это будет первый стрелок, тогда $p_1 = 0,5$. Нам нужно найти $p_2$.

События, заключающиеся в попадании каждого из стрелков, являются независимыми.

а) вероятность того, что мишень будет поражена дважды, равна 0,4;
Событие "мишень поражена дважды" означает, что оба стрелка попали в цель. Вероятность этого события для независимых выстрелов равна произведению вероятностей попадания каждого стрелка.
$P(\text{оба попали}) = p_1 \cdot p_2$
Согласно условию, эта вероятность равна 0,4:
$p_1 \cdot p_2 = 0,4$
Подставляем известное значение $p_1 = 0,5$:
$0,5 \cdot p_2 = 0,4$
Отсюда находим $p_2$:
$p_2 = \frac{0,4}{0,5} = 0,8$
Ответ: 0,8.

б) вероятность того, что мишень не будет поражена ни разу, равна 0,45;
Событие "мишень не поражена ни разу" означает, что оба стрелка промахнулись. Вероятность промаха для первого стрелка равна $q_1 = 1 - p_1 = 1 - 0,5 = 0,5$. Вероятность промаха для второго стрелка равна $q_2 = 1 - p_2$.
Вероятность того, что оба промахнутся, равна произведению вероятностей их промахов, так как выстрелы независимы:
$P(\text{оба промахнулись}) = q_1 \cdot q_2 = (1 - p_1) \cdot (1 - p_2)$
По условию, эта вероятность равна 0,45:
$(1 - p_1) \cdot (1 - p_2) = 0,45$
Подставляем $1 - p_1 = 0,5$:
$0,5 \cdot (1 - p_2) = 0,45$
$1 - p_2 = \frac{0,45}{0,5} = 0,9$
$p_2 = 1 - 0,9 = 0,1$
Ответ: 0,1.

в) вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы один раз, равна 0,8;
Событие "мишень поражена хотя бы один раз" является противоположным (дополнительным) событию "мишень не поражена ни разу". Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.
$P(\text{хотя бы одно попадание}) = 1 - P(\text{оба промахнулись})$
$P(\text{оба промахнулись}) = (1 - p_1) \cdot (1 - p_2)$
По условию, $P(\text{хотя бы одно попадание}) = 0,8$.
Следовательно, $P(\text{оба промахнулись}) = 1 - 0,8 = 0,2$.
$(1 - p_1) \cdot (1 - p_2) = 0,2$
Подставляем $1 - p_1 = 0,5$:
$0,5 \cdot (1 - p_2) = 0,2$
$1 - p_2 = \frac{0,2}{0,5} = 0,4$
$p_2 = 1 - 0,4 = 0,6$
Ответ: 0,6.

г) вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы один раз, равна 0,999.
Решение аналогично пункту в). Событие "мишень поражена хотя бы один раз" противоположно событию "оба промахнулись".
$P(\text{хотя бы одно попадание}) = 1 - P(\text{оба промахнулись})$
По условию, $P(\text{хотя бы одно попадание}) = 0,999$.
Значит, вероятность того, что оба промахнутся, равна:
$P(\text{оба промахнулись}) = 1 - 0,999 = 0,001$
$P(\text{оба промахнулись}) = (1 - p_1) \cdot (1 - p_2)$
$(1 - p_1) \cdot (1 - p_2) = 0,001$
Подставляем $1 - p_1 = 0,5$:
$0,5 \cdot (1 - p_2) = 0,001$
$1 - p_2 = \frac{0,001}{0,5} = 0,002$
$p_2 = 1 - 0,002 = 0,998$
Ответ: 0,998.