Номер 54.25, страница 217, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§54. Случайные события и их вероятности. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 54.25, страница 217.

54.25 Точка случайным образом выбрана из фигуры, ограниченной параболой $y = x^2$, осью абсцисс и прямой $x = 3$. Найдите вероятность того, что она лежит:

а) левее прямой $x = 1$;

б) правее прямой $x = 2$;

в) выше прямой $y = 4$;

г) ниже прямой $y = 1$.

Данная задача относится к геометрической вероятности. Вероятность события определяется как отношение площади области, благоприятствующей событию, к площади всей фигуры (пространства элементарных исходов).

Сначала найдем площадь всей фигуры. Фигура $\Omega$ ограничена параболой $y = x^2$, осью абсцисс ($y = 0$) и прямой $x = 3$. Поскольку $y = x^2 \ge 0$ для всех $x$, фигура расположена в первом квадранте и ограничена по $x$ от $0$ до $3$.

Площадь всей фигуры $S_{total}$ вычисляется с помощью определенного интеграла от функции $y = x^2$ в пределах от $0$ до $3$:

$S_{total} = \int_{0}^{3} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{27}{3} = 9$

Теперь найдем вероятности для каждого из предложенных случаев.

а) левее прямой x = 1

Благоприятствующая область - это часть фигуры $\Omega$, для которой $x < 1$. Эта область ограничена линиями $y = x^2$, $y=0$, $x=0$ и $x=1$. Найдем ее площадь $S_a$:

$S_a = \int_{0}^{1} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}$

Вероятность $P(a)$ равна отношению площади $S_a$ к общей площади $S_{total}$:

$P(a) = \frac{S_a}{S_{total}} = \frac{1/3}{9} = \frac{1}{27}$

Ответ: $\frac{1}{27}$

б) правее прямой x = 2

Благоприятствующая область - это часть фигуры $\Omega$, для которой $x > 2$. Эта область ограничена линиями $y = x^2$, $y=0$, $x=2$ и $x=3$. Найдем ее площадь $S_b$:

$S_b = \int_{2}^{3} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{2}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{2^3}{3} = \frac{27}{3} - \frac{8}{3} = \frac{19}{3}$

Вероятность $P(b)$ равна:

$P(b) = \frac{S_b}{S_{total}} = \frac{19/3}{9} = \frac{19}{27}$

Ответ: $\frac{19}{27}$

в) выше прямой y = 4

Благоприятствующая область - это часть фигуры $\Omega$, для которой $y > 4$. Это условие выполняется, только если $x^2 > 4$, что для $x \ge 0$ означает $x > 2$. Таким образом, эта область ограничена снизу прямой $y=4$, сверху параболой $y=x^2$, и по бокам прямыми $x=2$ и $x=3$.

Площадь $S_c$ можно найти как интеграл разности функций $y=x^2$ и $y=4$ от $x=2$ до $x=3$:

$S_c = \int_{2}^{3} (x^2 - 4) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 4x \right]_{2}^{3} = \left(\frac{3^3}{3} - 4 \cdot 3\right) - \left(\frac{2^3}{3} - 4 \cdot 2\right) = (9 - 12) - \left(\frac{8}{3} - 8\right) = -3 - (-\frac{16}{3}) = -3 + \frac{16}{3} = \frac{7}{3}$

Вероятность $P(c)$ равна:

$P(c) = \frac{S_c}{S_{total}} = \frac{7/3}{9} = \frac{7}{27}$

Ответ: $\frac{7}{27}$

г) ниже прямой y = 1

Благоприятствующая область - это часть фигуры $\Omega$, для которой $y < 1$. Эту область удобно разбить на две части в точке пересечения $y = x^2$ и $y=1$, то есть при $x=1$.
1. При $0 \le x \le 1$, верхняя граница $y=x^2$ находится ниже или на уровне $y=1$. Таким образом, здесь благоприятствующая область совпадает с частью фигуры $\Omega$ на этом интервале. Ее площадь: $S_{г1} = \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3}$.
2. При $1 < x \le 3$, верхняя граница $y=x^2$ находится выше $y=1$. В этом случае благоприятствующая область ограничена сверху прямой $y=1$. Получается прямоугольник, ограниченный прямыми $x=1, x=3, y=0, y=1$. Его площадь: $S_{г2} = (3-1) \times (1-0) = 2$.

Общая площадь благоприятствующей области $S_г$ равна сумме площадей этих двух частей:

$S_г = S_{г1} + S_{г2} = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}$

Вероятность $P(г)$ равна:

$P(г) = \frac{S_г}{S_{total}} = \frac{7/3}{9} = \frac{7}{27}$

Ответ: $\frac{7}{27}$