Номер 55.5, страница 218, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§55. Равносильность уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 55.5, страница 218.

55.5 a) $3^{\sqrt{x+4}} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x = 1$ и $\sqrt{x+4} - x = 0;$

б) $\sqrt{0,5x} \cdot 2^{x^2} \sqrt{2} = 4$ и $x^2 - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} = 2?$

а) Чтобы определить, равносильны ли уравнения $3^{\sqrt{x}+4} \cdot (\frac{1}{3})^x = 1$ и $\sqrt{x}+4-x=0$, необходимо сравнить их множества решений. Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают.
Область допустимых значений (ОДЗ) для обоих уравнений определяется наличием выражения $\sqrt{x}$, поэтому ОДЗ: $x \ge 0$.
Рассмотрим первое уравнение: $3^{\sqrt{x}+4} \cdot (\frac{1}{3})^x = 1$.
Преобразуем его, используя свойства степеней. Представим все части уравнения как степени с основанием 3:
$(\frac{1}{3})^x = (3^{-1})^x = 3^{-x}$
$1 = 3^0$
Уравнение принимает вид:
$3^{\sqrt{x}+4} \cdot 3^{-x} = 3^0$
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$3^{\sqrt{x}+4-x} = 3^0$
Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели:
$\sqrt{x}+4-x=0$
В результате равносильных преобразований на общей области допустимых значений мы получили второе уравнение. Следовательно, множества решений обоих уравнений совпадают.
Ответ: Да, уравнения равносильны.

б) Чтобы определить, равносильны ли уравнения $\sqrt{0.5^x} \cdot 2^{x^2}\sqrt{2} = 4$ и $x^2 - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} = 2$, сравним их множества решений.
Оба уравнения определены для всех действительных чисел $x$, так как показательная функция $0.5^x$ всегда принимает положительные значения.
Рассмотрим первое уравнение и преобразуем его, приведя все множители к основанию 2.
$0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$
$\sqrt{0.5^x} = \sqrt{(2^{-1})^x} = \sqrt{2^{-x}} = (2^{-x})^{1/2} = 2^{-x/2}$
$\sqrt{2} = 2^{1/2}$
$4 = 2^2$
Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:
$2^{-x/2} \cdot 2^{x^2} \cdot 2^{1/2} = 2^2$
Используя свойство степеней, сложим показатели в левой части:
$2^{x^2 - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}} = 2^2$
Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели:
$x^2 - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} = 2$
Полученное уравнение полностью совпадает со вторым уравнением. Так как все преобразования были равносильными для всех действительных $x$, уравнения имеют одинаковые множества решений.
Ответ: Да, уравнения равносильны.