Номер 55.10, страница 219, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§55. Равносильность уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 55.10, страница 219.

55.10 a) $\sqrt{x^4 - 3x - 1} = x^2 - 1;$

б) $\sqrt{x^4 - 3x - 1} = 1 - x^2;$

В) $\sqrt{x^4 + x - 9} = 1 - x^2;$

Г) $\sqrt{x^4 + x - 9} = x^2 - 1.$

а) $\sqrt{x^4 - 3x - 1} = x^2 - 1$

Данное иррациональное уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе, состоящей из уравнения $f(x) = (g(x))^2$ и неравенства $g(x) \ge 0$.

$\begin{cases} x^4 - 3x - 1 = (x^2 - 1)^2 \\ x^2 - 1 \ge 0 \end{cases}$

1. Решим неравенство $x^2 - 1 \ge 0$.

$(x-1)(x+1) \ge 0$, что выполняется для $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$. Это область допустимых значений для корней уравнения.

2. Решим уравнение:

$x^4 - 3x - 1 = (x^2 - 1)^2$

$x^4 - 3x - 1 = x^4 - 2x^2 + 1$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 3x - 2 = 0$

Найдем корни полученного квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5$

3. Проверим, принадлежат ли найденные корни области допустимых значений $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

Корень $x = 2$ принадлежит промежутку $[1; +\infty)$, следовательно, является решением исходного уравнения.

Корень $x = -0.5$ не принадлежит области допустимых значений. Это посторонний корень.

Ответ: $2$

б) $\sqrt{x^4 - 3x - 1} = 1 - x^2$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^4 - 3x - 1 = (1 - x^2)^2 \\ 1 - x^2 \ge 0 \end{cases}$

1. Решим неравенство $1 - x^2 \ge 0$.

$x^2 \le 1$, что выполняется для $x \in [-1; 1]$.

2. Решим уравнение:

$x^4 - 3x - 1 = (1 - x^2)^2$

Так как $(1 - x^2)^2 = (-(x^2-1))^2 = (x^2-1)^2$, уравнение совпадает с уравнением из пункта а):

$x^4 - 3x - 1 = 1 - 2x^2 + x^4$

$2x^2 - 3x - 2 = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -0.5$.

3. Проверим, принадлежат ли найденные корни области допустимых значений $x \in [-1; 1]$.

Корень $x = 2$ не принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Это посторонний корень.

Корень $x = -0.5$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$, следовательно, является решением исходного уравнения.

Ответ: $-0.5$

в) $\sqrt{x^4 + x - 9} = 1 - x^2$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^4 + x - 9 = (1 - x^2)^2 \\ 1 - x^2 \ge 0 \end{cases}$

1. Область допустимых значений определяется неравенством $1 - x^2 \ge 0$, откуда $x \in [-1; 1]$.

2. Решим уравнение:

$x^4 + x - 9 = 1 - 2x^2 + x^4$

$x - 9 = 1 - 2x^2$

$2x^2 + x - 10 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта:

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81$

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 9}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 9}{4} = -\frac{10}{4} = -2.5$

3. Проверим, принадлежат ли найденные корни области допустимых значений $x \in [-1; 1]$.

Корень $x = 2$ не принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

Корень $x = -2.5$ не принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

Оба корня являются посторонними, значит, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет

г) $\sqrt{x^4 + x - 9} = x^2 - 1$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^4 + x - 9 = (x^2 - 1)^2 \\ x^2 - 1 \ge 0 \end{cases}$

1. Область допустимых значений определяется неравенством $x^2 - 1 \ge 0$, откуда $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

2. Решим уравнение:

$x^4 + x - 9 = x^4 - 2x^2 + 1$

Уравнение совпадает с уравнением из пункта в):

$2x^2 + x - 10 = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2.5$.

3. Проверим, принадлежат ли найденные корни области допустимых значений $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

Корень $x = 2$ принадлежит промежутку $[1; +\infty)$, следовательно, является решением.

Корень $x = -2.5$ принадлежит промежутку $(-\infty; -1]$, следовательно, также является решением.

Ответ: $-2.5; 2$