Номер 56.5, страница 220, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.5, страница 220.

56.5 a) $(x^2 - 6x)^5 = (2x - 7)^5;$

б) $(\sqrt{6x - 1} + 1)^9 = (\sqrt{6x + 8})^9.$

а) $(x^2 - 6x)^5 = (2x - 7)^5$

Данное уравнение представляет собой равенство двух выражений в одинаковой нечетной степени ($n=5$). Если $a^n = b^n$ и $n$ — нечетное число, то это равносильно уравнению $a = b$.

Приравняем основания степеней:

$x^2 - 6x = 2x - 7$

Переносим все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 6x - 2x + 7 = 0$

$x^2 - 8x + 7 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней равна $8$, а их произведение равно $7$. Корни легко подбираются: $x_1 = 1$ и $x_2 = 7$.

Также можно решить через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 6}{2}$

$x_1 = \frac{8 - 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{8 + 6}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Ответ: $1; 7$.

б) $(\sqrt{6x - 1} + 1)^9 = (\sqrt{6x + 8})^9$

В данном уравнении степени также нечетные ($n=9$), поэтому мы можем приравнять основания:

$\sqrt{6x - 1} + 1 = \sqrt{6x + 8}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), для которых все подкоренные выражения неотрицательны:

$\begin{cases} 6x - 1 \geq 0 \\ 6x + 8 \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 6x \geq 1 \\ 6x \geq -8 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq \frac{1}{6} \\ x \geq -\frac{8}{6} \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq \frac{1}{6} \\ x \geq -\frac{4}{3} \end{cases}$

Общим решением системы неравенств является $x \geq \frac{1}{6}$.

Теперь решим само уравнение. Для избавления от корней возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{6x - 1} + 1)^2 = (\sqrt{6x + 8})^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(6x - 1) + 2\sqrt{6x - 1} + 1 = 6x + 8$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$6x + 2\sqrt{6x - 1} = 6x + 8$

Вычтем $6x$ из обеих частей уравнения:

$2\sqrt{6x - 1} = 8$

Разделим обе части на 2:

$\sqrt{6x - 1} = 4$

Еще раз возведем обе части в квадрат:

$6x - 1 = 16$

Найдем $x$:

$6x = 17$

$x = \frac{17}{6}$

Проверим, входит ли найденный корень в ОДЗ. Условие $x \geq \frac{1}{6}$.

Поскольку $17 > 1$, то $\frac{17}{6} > \frac{1}{6}$. Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{17}{6}$.