Номер 56.6, страница 220, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.6, страница 220.

56.6 a) $(2^{2x} + 16)^{20} = (10 \cdot 2^x)^{20}$

б) $(\log_{0.1}^2 x - 2)^3 = (2 \log_{0.1} x + 1)^3$

a) Исходное уравнение: $(2^{2x} + 16)^{20} = (10 \cdot 2^x)^{20}$.

Это уравнение имеет вид $A^{20} = B^{20}$. Поскольку показатель степени 20 является четным числом, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$A = B$ или $A = -B$.

$2^{2x} + 16 = 10 \cdot 2^x$
$2^{2x} + 16 = -10 \cdot 2^x$

Рассмотрим второе уравнение. Выражение $2^{2x}$ всегда положительно ($2^{2x} > 0$), значит, левая часть $2^{2x} + 16$ всегда больше нуля. Выражение $2^x$ также всегда положительно ($2^x > 0$), значит, правая часть $-10 \cdot 2^x$ всегда меньше нуля. Положительное число не может равняться отрицательному, поэтому второе уравнение не имеет решений.

Решим первое уравнение: $2^{2x} + 16 = 10 \cdot 2^x$.

Заметим, что $2^{2x} = (2^x)^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$, то и $t > 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 + 16 = 10t$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 - 10t + 16 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна 10, а их произведение равно 16. Корни — это 2 и 8.

$t_1 = 2$, $t_2 = 8$.

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

1) $2^x = t_1 = 2$. Отсюда $2^x = 2^1$, следовательно, $x_1 = 1$.

2) $2^x = t_2 = 8$. Отсюда $2^x = 2^3$, следовательно, $x_2 = 3$.

Ответ: $1; 3$.

б) Исходное уравнение: $(\log_{0,1}^2 x - 2)^3 = (2 \log_{0,1} x + 1)^3$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$.

Уравнение имеет вид $A^3 = B^3$. Поскольку показатель степени 3 является нечетным числом, данное уравнение равносильно уравнению $A = B$.

$\log_{0,1}^2 x - 2 = 2 \log_{0,1} x + 1$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \log_{0,1} x$.

Уравнение принимает вид:

$y^2 - 2 = 2y + 1$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$y^2 - 2y - 3 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$.

$y_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3$.

$y_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

1) $\log_{0,1} x = y_1 = 3$. По определению логарифма, $x_1 = (0,1)^3 = 0.001$.

2) $\log_{0,1} x = y_2 = -1$. По определению логарифма, $x_2 = (0,1)^{-1} = (\frac{1}{10})^{-1} = 10$.

Оба корня ($0.001$ и $10$) удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $0.001; 10$.