Номер 56.9, страница 220, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.9, страница 220.

56.9 a) $log_{\frac{2}{3}}(7x + 9) - log_{\frac{2}{3}}(8 - x) = 1;$

б) $log_{1.2}(3x - 1) + log_{1.2}(3x + 1) = log_{1.2}8.$

а) Дано логарифмическое уравнение $\log_{\frac{2}{3}}(7x + 9) - \log_{\frac{2}{3}}(8 - x) = 1$.

Первым шагом найдем Область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком логарифма должны быть строго больше нуля:

$ \begin{cases} 7x + 9 > 0 \\ 8 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 7x > -9 \\ x < 8 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -\frac{9}{7} \\ x < 8 \end{cases} $

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\frac{9}{7}; 8)$.

Используем свойство разности логарифмов: $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$.

$\log_{\frac{2}{3}}\left(\frac{7x + 9}{8 - x}\right) = 1$

Теперь воспользуемся определением логарифма: если $\log_a b = c$, то $b = a^c$.

$\frac{7x + 9}{8 - x} = \left(\frac{2}{3}\right)^1$

$\frac{7x + 9}{8 - x} = \frac{2}{3}$

Решим полученное рациональное уравнение с помощью перекрестного умножения:

$3(7x + 9) = 2(8 - x)$

$21x + 27 = 16 - 2x$

$21x + 2x = 16 - 27$

$23x = -11$

$x = -\frac{11}{23}$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Мы должны проверить, выполняется ли неравенство $-\frac{9}{7} < -\frac{11}{23} < 8$.

Поскольку $-\frac{9}{7} \approx -1.286$ и $-\frac{11}{23} \approx -0.478$, неравенство $-1.286 < -0.478 < 8$ является верным. Значит, корень подходит.

Ответ: $-\frac{11}{23}$.

б) Дано логарифмическое уравнение $\log_{1.2}(3x - 1) + \log_{1.2}(3x + 1) = \log_{1.2}8$.

Найдем ОДЗ. Выражения под знаком логарифма должны быть строго больше нуля:

$ \begin{cases} 3x - 1 > 0 \\ 3x + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x > 1 \\ 3x > -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{1}{3} \\ x > -\frac{1}{3} \end{cases} $

Объединяя условия, получаем более строгое: $x > \frac{1}{3}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (\frac{1}{3}; +\infty)$.

Используем свойство суммы логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$.

$\log_{1.2}((3x - 1)(3x + 1)) = \log_{1.2}8$

Так как основания логарифмов в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их аргументы:

$(3x - 1)(3x + 1) = 8$

В левой части уравнения находится формула разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$(3x)^2 - 1^2 = 8$

$9x^2 - 1 = 8$

$9x^2 = 9$

$x^2 = 1$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > \frac{1}{3}$):

Для $x_1 = 1$: $1 > \frac{1}{3}$ (верно). Корень подходит.

Для $x_2 = -1$: $-1 > \frac{1}{3}$ (неверно). Этот корень является посторонним.

Следовательно, уравнение имеет единственное решение.

Ответ: $1$.