Номер 56.4, страница 220, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.4, страница 220.

56.4 a) $ \log_3(x^2 - 10x + 40) = \log_3(4x - 8); $

б) $ \log_{\sqrt{3}} \frac{x-2}{2x-4} = \log_{\sqrt{3}} \frac{x+1}{x+2}. $

а) Дано логарифмическое уравнение: $ \log_3(x^2 - 10x + 40) = \log_3(4x - 8) $

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы. Однако сначала необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ), при которых аргументы обоих логарифмов положительны.

Система неравенств для ОДЗ: $ \begin{cases} x^2 - 10x + 40 > 0 \\ 4x - 8 > 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ x^2 - 10x + 40 > 0 $.
Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 100 - 160 = -60 $.
Так как дискриминант отрицательный ($ D < 0 $) и старший коэффициент положительный ($ a=1 > 0 $), парабола $ y = x^2 - 10x + 40 $ полностью находится выше оси Ox, следовательно, неравенство $ x^2 - 10x + 40 > 0 $ выполняется для любых действительных значений $ x $.

2. Решим второе неравенство: $ 4x - 8 > 0 $.
$ 4x > 8 $
$ x > 2 $

Таким образом, общая область допустимых значений для уравнения: $ x > 2 $.

Теперь решим само уравнение, приравняв аргументы: $ x^2 - 10x + 40 = 4x - 8 $

Перенесем все члены в левую часть: $ x^2 - 10x - 4x + 40 + 8 = 0 $
$ x^2 - 14x + 48 = 0 $

Это квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета. Ищем два числа, сумма которых равна 14, а произведение равно 48. Это числа 6 и 8.
$ x_1 = 6 $
$ x_2 = 8 $

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($ x > 2 $).
Корень $ x_1 = 6 $ удовлетворяет условию $ 6 > 2 $.
Корень $ x_2 = 8 $ удовлетворяет условию $ 8 > 2 $.
Оба корня подходят.

Ответ: 6; 8.

---

б) Дано логарифмическое уравнение: $ \log_{\sqrt{3}}\frac{x-2}{2x-4} = \log_{\sqrt{3}}\frac{x+1}{x+2} $

Поскольку основания логарифмов одинаковы, приравниваем их аргументы. Но сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).

Система неравенств для ОДЗ: $ \begin{cases} \frac{x-2}{2x-4} > 0 \\ \frac{x+1}{x+2} > 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ \frac{x-2}{2x-4} > 0 $.
Упростим знаменатель: $ 2x-4 = 2(x-2) $.
Неравенство принимает вид: $ \frac{x-2}{2(x-2)} > 0 $.
При условии $ x-2 \neq 0 $ (то есть $ x \neq 2 $), дробь сокращается до $ \frac{1}{2} $.
Неравенство $ \frac{1}{2} > 0 $ является верным. Значит, первое условие ОДЗ выполняется для всех $ x $, кроме $ x = 2 $.

2. Решим второе неравенство: $ \frac{x+1}{x+2} > 0 $.
Используем метод интервалов. Нули числителя и знаменателя: $ x = -1 $ и $ x = -2 $.
Наносим точки на числовую прямую и определяем знаки дроби в каждом интервале:
$ (-\infty; -2) $: $ (+) $
$ (-2; -1) $: $ (-) $
$ (-1; +\infty) $: $ (+) $
Решением является объединение интервалов, где дробь положительна: $ x \in (-\infty; -2) \cup (-1; +\infty) $.

Объединяя оба условия, получаем итоговую ОДЗ: $ x \in (-\infty; -2) \cup (-1; 2) \cup (2; +\infty) $.

Теперь решаем уравнение, приравняв аргументы: $ \frac{x-2}{2x-4} = \frac{x+1}{x+2} $

На ОДЗ ($ x \neq 2 $) левая часть уравнения равна $ \frac{1}{2} $: $ \frac{1}{2} = \frac{x+1}{x+2} $

Используем основное свойство пропорции: $ 1 \cdot (x+2) = 2 \cdot (x+1) $
$ x+2 = 2x+2 $

Переносим члены с $ x $ в одну сторону, а числа в другую: $ 2-2 = 2x-x $
$ 0 = x $

Проверим, принадлежит ли найденный корень $ x=0 $ области допустимых значений: $ x \in (-\infty; -2) \cup (-1; 2) \cup (2; +\infty) $.
Корень $ x=0 $ входит в интервал $ (-1; 2) $, следовательно, является решением уравнения.

Ответ: 0.