Номер 56.10, страница 220, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.10, страница 220.

Решите уравнение методом разложения на множители:

56.10 а) $x^3 - 9x^2 + 20x = 0;$

б) $x^3 + x^2 - 9x - 9 = 0.$

а) $x^3 - 9x^2 + 20x = 0$

Для решения данного уравнения методом разложения на множители, вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 9x + 20) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум уравнениям:

1) $x = 0$

2) $x^2 - 9x + 20 = 0$

Первый корень уравнения $x_1 = 0$. Теперь решим квадратное уравнение $x^2 - 9x + 20 = 0$. Это можно сделать с помощью теоремы Виета или через дискриминант.

По теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. То есть:

$x_2 + x_3 = 9$

$x_2 \cdot x_3 = 20$

Подбором находим корни: $x_2 = 4$ и $x_3 = 5$.

Также можно найти корни через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$.

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{1}}{2}$.

$x_2 = \frac{9 - 1}{2} = 4$

$x_3 = \frac{9 + 1}{2} = 5$

Таким образом, исходное уравнение имеет три корня.

Ответ: $0; 4; 5$.

б) $x^3 + x^2 - 9x - 9 = 0$

Для разложения на множители применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(x^3 + x^2) - (9x + 9) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 1) - 9(x + 1) = 0$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x+1)$:

$(x + 1)(x^2 - 9) = 0$

Второе выражение в скобках, $x^2 - 9$, является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$

Подставив это в уравнение, получаем:

$(x + 1)(x - 3)(x + 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю и находим корни:

$x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$

$x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$

$x + 3 = 0 \implies x_3 = -3$

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $-3; -1; 3$.