Номер 56.16, страница 221, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.16, страница 221.

56.16 a) $\sqrt{x^2 + 1 - 2x - 6\sqrt{x - 1}} = 7;$

б) $\sqrt{x^2 - 4x + 4 - 6} = 5\sqrt{2 - x}.$

а) Решим уравнение $\sqrt{x^2 + 1 - 2x} - 6\sqrt{x-1} = 7$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
Также $x^2 + 1 - 2x = (x-1)^2 \ge 0$ для любого $x$.
Таким образом, ОДЗ: $x \ge 1$.
Заметим, что подкоренное выражение $x^2 - 2x + 1$ является полным квадратом: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.
Тогда уравнение можно переписать в виде:
$\sqrt{(x-1)^2} - 6\sqrt{x-1} = 7$
$|x-1| - 6\sqrt{x-1} = 7$
Поскольку из ОДЗ мы знаем, что $x \ge 1$, то $x-1 \ge 0$, и, следовательно, $|x-1| = x-1$.
Уравнение принимает вид:
$(x-1) - 6\sqrt{x-1} - 7 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{x-1}$. Так как корень не может быть отрицательным, $y \ge 0$. Тогда $x-1 = y^2$.
Подставим замену в уравнение:
$y^2 - 6y - 7 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $y$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 = 8^2$
$y_1 = \frac{-(-6) + 8}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7$
$y_2 = \frac{-(-6) - 8}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$
Так как $y \ge 0$, корень $y_2 = -1$ не является решением. Остается $y_1 = 7$.
Вернемся к исходной переменной $x$:
$\sqrt{x-1} = 7$
Возведем обе части в квадрат:
$x-1 = 49$
$x = 50$
Проверим, удовлетворяет ли корень $x=50$ нашему ОДЗ ($x \ge 1$). Да, удовлетворяет.
Ответ: 50.

б) Решим уравнение $\sqrt{x^2 - 4x + 4} - 6 = 5\sqrt{2-x}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$2 - x \ge 0 \implies x \le 2$.
Выражение $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 \ge 0$ для любого $x$.
Таким образом, ОДЗ: $x \le 2$.
Упростим выражение под первым корнем: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.
Уравнение принимает вид:
$\sqrt{(x-2)^2} - 6 = 5\sqrt{2-x}$
$|x-2| - 6 = 5\sqrt{2-x}$
Из ОДЗ мы знаем, что $x \le 2$, поэтому $x-2 \le 0$. Следовательно, $|x-2| = -(x-2) = 2-x$.
Подставим это в уравнение:
$(2-x) - 6 = 5\sqrt{2-x}$
Сделаем замену переменной. Пусть $z = \sqrt{2-x}$. Так как корень не может быть отрицательным, $z \ge 0$. Тогда $2-x = z^2$.
Подставляем замену в уравнение:
$z^2 - 6 = 5z$
$z^2 - 5z - 6 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 = 7^2$
$z_1 = \frac{-(-5) + 7}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$
$z_2 = \frac{-(-5) - 7}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$
Так как по условию замены $z \ge 0$, корень $z_2 = -1$ не подходит. Остается $z_1 = 6$.
Выполним обратную замену:
$\sqrt{2-x} = 6$
Возведем обе части в квадрат:
$2-x = 36$
$x = 2 - 36$
$x = -34$
Проверим, удовлетворяет ли корень $x=-34$ нашему ОДЗ ($x \le 2$). Да, $-34 \le 2$, следовательно, корень подходит.
Ответ: -34.