Номер 56.18, страница 221, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.18, страница 221.

56.18 a) $2^x + 2^{1-x} = 3;$

б) $25^{-x} - 50 = 5^{-x+1},$

В) $5^x + 4 = 5^{2x+1},$

Г) $3^{x+1} - 29 = -18 \cdot 3^{-x}.$

а) $2^x + 2^{1-x} = 3$
Преобразуем уравнение, используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:
$2^x + \frac{2^1}{2^x} = 3$
Введем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
Уравнение с новой переменной: $t + \frac{2}{t} = 3$.
Умножим обе части на $t$ (поскольку $t \neq 0$), чтобы избавиться от дроби:
$t^2 + 2 = 3t$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$t^2 - 3t + 2 = 0$
Найдем корни этого уравнения, например, по теореме Виета: сумма корней равна 3, произведение равно 2. Корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 2$.
Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.
Вернемся к исходной переменной $x$:
1) $2^x = t_1 \implies 2^x = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x = 0$.
2) $2^x = t_2 \implies 2^x = 2 \implies 2^x = 2^1 \implies x = 1$.

Ответ: $0; 1$.

б) $25^{-x} - 50 = 5^{-x+1}$
Приведем все степени к одному основанию 5. Заметим, что $25=5^2$.
$(5^2)^{-x} - 50 = 5^{-x} \cdot 5^1$
$5^{-2x} - 50 = 5 \cdot 5^{-x}$
$(5^{-x})^2 - 5 \cdot 5^{-x} - 50 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^{-x}$, где $t > 0$.
$t^2 - 5t - 50 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 25 + 200 = 225 = 15^2$
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 15}{2}$
$t_1 = \frac{5+15}{2} = 10$
$t_2 = \frac{5-15}{2} = -5$
Корень $t_2 = -5$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.
Выполним обратную замену для $t_1 = 10$:
$5^{-x} = 10$
Прологарифмируем обе части по основанию 5:
$\log_5(5^{-x}) = \log_5(10)$
$-x = \log_5(10)$
$x = -\log_5(10)$

Ответ: $-\log_5(10)$.

в) $5^x + 4 = 5^{2x+1}$
Преобразуем правую часть уравнения: $5^{2x+1} = 5^{2x} \cdot 5^1 = 5 \cdot (5^x)^2$.
Уравнение принимает вид: $5^x + 4 = 5 \cdot (5^x)^2$.
Перенесем все члены в одну сторону:
$5 \cdot (5^x)^2 - 5^x - 4 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$, где $t > 0$.
$5t^2 - t - 4 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81 = 9^2$
$t_{1,2} = \frac{1 \pm 9}{2 \cdot 5} = \frac{1 \pm 9}{10}$
$t_1 = \frac{1+9}{10} = 1$
$t_2 = \frac{1-9}{10} = -0.8$
Корень $t_2 = -0.8$ не удовлетворяет условию $t > 0$.
Выполним обратную замену для $t_1 = 1$:
$5^x = 1$
$5^x = 5^0$
$x=0$

Ответ: $0$.

г) $3^{x+1} - 29 = -18 \cdot 3^{-x}$
Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:
$3^x \cdot 3^1 - 29 = -18 \cdot \frac{1}{3^x}$
$3 \cdot 3^x - 29 = -\frac{18}{3^x}$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.
$3t - 29 = -\frac{18}{t}$
Умножим обе части на $t$ (где $t \neq 0$):
$3t^2 - 29t = -18$
$3t^2 - 29t + 18 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = (-29)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 18 = 841 - 216 = 625 = 25^2$
$t_{1,2} = \frac{29 \pm 25}{2 \cdot 3} = \frac{29 \pm 25}{6}$
$t_1 = \frac{29+25}{6} = \frac{54}{6} = 9$
$t_2 = \frac{29-25}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Оба корня положительны, поэтому оба подходят.
Выполним обратную замену для каждого корня:
1) $3^x = t_1 \implies 3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x = 2$.
2) $3^x = t_2 \implies 3^x = \frac{2}{3} \implies x = \log_3\left(\frac{2}{3}\right)$.
Используя свойство логарифма частного, второй корень можно записать как $x = \log_3(2) - \log_3(3) = \log_3(2) - 1$.

Ответ: $2; \log_3\left(\frac{2}{3}\right)$.