Номер 56.25, страница 222, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.25, страница 222.

Решите уравнение:

56.25 a) $(x - 1)^4 + 36 = 13(x^2 - 2x + 1)$;

б) $(2x + 3)^4 - 9 = 8(4x^2 + 12x + 9)$.

а) $(x - 1)^4 + 36 = 13(x^2 - 2x + 1)$

Заметим, что выражение в скобках в правой части уравнения является полным квадратом разности:

$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$

Подставим это в исходное уравнение:

$(x - 1)^4 + 36 = 13(x - 1)^2$

Это биквадратное уравнение относительно $(x - 1)$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = (x - 1)^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 + 36 = 13t$

Перенесем все члены в левую часть и решим полученное квадратное уравнение:

$t^2 - 13t + 36 = 0$

По теореме Виета находим корни: $t_1 + t_2 = 13$ и $t_1 \cdot t_2 = 36$. Корнями являются числа 4 и 9.

$t_1 = 4$

$t_2 = 9$

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$. Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

1) Если $t = 4$, то:

$(x - 1)^2 = 4$

$x - 1 = 2$ или $x - 1 = -2$

$x = 3$ или $x = -1$

2) Если $t = 9$, то:

$(x - 1)^2 = 9$

$x - 1 = 3$ или $x - 1 = -3$

$x = 4$ или $x = -2$

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-2; -1; 3; 4$.

б) $(2x + 3)^4 - 9 = 8(4x^2 + 12x + 9)$

Заметим, что выражение в скобках в правой части уравнения является полным квадратом суммы:

$4x^2 + 12x + 9 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = (2x + 3)^2$

Подставим это в исходное уравнение:

$(2x + 3)^4 - 9 = 8(2x + 3)^2$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = (2x + 3)^2$. Учитывая, что $y$ является квадратом, $y \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$y^2 - 9 = 8y$

Перенесем все члены в левую часть:

$y^2 - 8y - 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение, например, с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 = 10^2$

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 10}{2} = 9$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 10}{2} = -1$

Проверим корни на соответствие условию $y \ge 0$.

$y_1 = 9$ - удовлетворяет условию.

$y_2 = -1$ - не удовлетворяет условию ($y_2 < 0$), поэтому этот корень является посторонним.

Вернемся к исходной переменной $x$, используя единственный подходящий корень $y=9$.

$(2x + 3)^2 = 9$

$2x + 3 = 3$ или $2x + 3 = -3$

1) $2x + 3 = 3$

$2x = 0$

$x = 0$

2) $2x + 3 = -3$

$2x = -6$

$x = -3$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $-3; 0$.